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题型:简答题
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简答题

已知a>0,b>0,且a2+b2=,若a+b≤m恒成立,

(Ⅰ)求m的最小值;

(Ⅱ)若2|x-1|+|x|≥a+b对任意的a,b恒成立,求实数x的取值范围.

正确答案

解:(Ⅰ)∵a>0,b>0,且a2+b2=

∴9=(a2+b2)(12+12)≥(a+b)2

∴a+b≤3,(当且仅当,即时取等号)

又∵a+b≤m恒成立,∴m≥3.

故m的最小值为3.…(4分)

(II)要使2|x-1|+|x|≥a+b恒成立,须且只须2|x-1|+|x|≥3.

.…(7分)

解析

解:(Ⅰ)∵a>0,b>0,且a2+b2=

∴9=(a2+b2)(12+12)≥(a+b)2

∴a+b≤3,(当且仅当,即时取等号)

又∵a+b≤m恒成立,∴m≥3.

故m的最小值为3.…(4分)

(II)要使2|x-1|+|x|≥a+b恒成立,须且只须2|x-1|+|x|≥3.

.…(7分)

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题型: 单选题
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单选题

不等式|x+3|+|x-1|≥a2-3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为(  )

A[-1,4]

B(-∞,-2]∪[5,+∞)

C(-∞,-1]∪[4,+∞)

D[-2,5]

正确答案

A

解析

解:令y=|x+3|+|x-1|

的几何意义是数轴上到-3与1的距离的最小值为:4,

所以要使得不等式|x+3|+|x-1|≥a2-3a对任意实数x恒成立

只要a2-3a≤4即可

∴-1≤a≤4

故选A.

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题型:填空题
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填空题

对于任意实数a(a≠0)和b,不等式恒成立,试求实数x的取值范围是______

正确答案

[0,2]

解析

解:由题意可得 恒成立,

小于或等于的最小值,

的最小值等于2,故所求x的范围即为不等式≤2的解集.

由于表示数轴上的x对应点到对应点的距离之和,

又由于数轴上0和2对应点到对应点的距离之和等于2,

故不等式≤2的解集为[0,2],

故答案为[0,2].

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题型:填空题
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填空题

若关于x的不等式x+|x-1|≤a有解,则实数a的取值范围是______

正确答案

[1,+∞)

解析

解:令y=x+|x-1|,

当x≤1时y=x+1-x=1,

当x>1时y=x+x-1=2x-1>1,

y最小值=1,

要满足x的不等式x+|x-1|≤a有解

则a≥1.

故答案为:[1,+∞).

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题型:简答题
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简答题

解关于x的不等式|ax-1|>a+1(a>-1).

正确答案

解:|ax-1|>a+1⇔ax-1>a+1或ax-1<-a-1⇔ax>a+2或ax<-a.…(2分)

当-1<a<0时,x<或x>-1,

∴原不等式的解集为(-∞,)∪(-1,+∞).…(5分)

当a=0时,原不等式的解集为φ.…(7分)

当a>0时,x>,或x<-1,

∴原不等式的解集为(-∞,-1)∪(,+∞).…(10分)

解析

解:|ax-1|>a+1⇔ax-1>a+1或ax-1<-a-1⇔ax>a+2或ax<-a.…(2分)

当-1<a<0时,x<或x>-1,

∴原不等式的解集为(-∞,)∪(-1,+∞).…(5分)

当a=0时,原不等式的解集为φ.…(7分)

当a>0时,x>,或x<-1,

∴原不等式的解集为(-∞,-1)∪(,+∞).…(10分)

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题型:简答题
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简答题

已知函数f(x)=|lnx|-1.

(1)当x>0时,解不等式x(x+)≤

(2)当x∈[t,t+](0),求函数g(x)=|f(x)|的最大值;

(3)当x>e时,有f(x)<x2-(k+2e)x+e2+ke恒成立,求实数k的取值范围.(注:e为自然对数的底数).

正确答案

解:(1)当x>0时,不等式x(x+)≤

等价于 x2+x-≤0,

解得--≤x≤-+

再根据 x>0,可得不等式的解集为

{x|0<x≤-+}.

(2)当x∈[t,t+](0),

画出函数g(x)=|f(x)|的图象,

如图所示:显然函数g(x)在[t,]上是减函数,

在[,t+]上是增函数,

函数g(x)=|f(x)|在区间[t,t+]的最大值

为 max{g(t),g(t+)}.

(3)当x>e时,函数f(x)=lnx-1,由题意可得 x2-(k+2e)x+e2+ke-lnx+1>0恒成立.

即k<=(x-e)- 恒成立.

令h(x)=(x-e)-,由于函数h(x)是(e,+∞)上的增函数,

==,∴h(x)>h(e)=0-,∴k≤-,即k的范围为(-∞,-].

解析

解:(1)当x>0时,不等式x(x+)≤

等价于 x2+x-≤0,

解得--≤x≤-+

再根据 x>0,可得不等式的解集为

{x|0<x≤-+}.

(2)当x∈[t,t+](0),

画出函数g(x)=|f(x)|的图象,

如图所示:显然函数g(x)在[t,]上是减函数,

在[,t+]上是增函数,

函数g(x)=|f(x)|在区间[t,t+]的最大值

为 max{g(t),g(t+)}.

(3)当x>e时,函数f(x)=lnx-1,由题意可得 x2-(k+2e)x+e2+ke-lnx+1>0恒成立.

即k<=(x-e)- 恒成立.

令h(x)=(x-e)-,由于函数h(x)是(e,+∞)上的增函数,

==,∴h(x)>h(e)=0-,∴k≤-,即k的范围为(-∞,-].

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题型:填空题
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填空题

不等式的整数解是______

正确答案

1,2,3

解析

解:∵

∴-1<1-<1,

∴-2<-<0,

∴0<x<4,

∴整数解是1,2,3

故答案为:1,2,3

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题型:填空题
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填空题

(不等式选讲选做题)若关于x的不等式|x+1|-|x-2|<a2-4a有实数解,则实数a的取值范围是______

正确答案

a>3 或a<1

解析

解:∵|x+1|-|x-2|≤|(x+1)-(x-2)|=3,

∴-3≤|x+1|-|x-2|≤3,

由不等式a2-4a>|x+1|-|x-2|有实数解,

知a2-4a>-3,解得a>3或a<1.

故答案为:a>3 或a<1.

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题型: 单选题
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单选题

不等式的解集是   (  )

A{}

B{}

C{x|<x<}

D{x|x<0或x<}

正确答案

D

解析

解:由不等式 可得    或

 或 ,解得 x<0 或 0<x<

故不等式的解集为 {x|x<0 或 0<x< },

故选D.

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题型: 单选题
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单选题

已知命题p:|x-1|+|x+1|≥3a恒成立,命题q:y=(2a-1)x为减函数,若p且q为真命题,则a的取值范围是(  )

Aa

B0<a<

C

D

正确答案

C

解析

解:命题p:|x-1|+|x+1|≥3a恒成立,由于|x-1|+|x+1|≥2,故有3a≤2,即a≤

命题q:y=(2a-1)x为减函数,可得2a-1∈(0,1),即a∈(,1)

又p且q为真命题,可得a∈(]

故选C

百度题库 > 高考 > 数学 > 绝对值不等式

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