绝对值不等式_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知a＞0，b＞0，且a2+b2=，若a+b≤m恒成立，

（Ⅰ）求m的最小值；

（Ⅱ）若2|x-1|+|x|≥a+b对任意的a，b恒成立，求实数x的取值范围．

正确答案

解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且a2+b2=，

∴9=（a2+b2）（12+12）≥（a+b）2，

∴a+b≤3，（当且仅当，即时取等号）

又∵a+b≤m恒成立，∴m≥3．

故m的最小值为3．…（4分）

（II）要使2|x-1|+|x|≥a+b恒成立，须且只须2|x-1|+|x|≥3．

∴或或

∴或．…（7分）

解析

解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且a2+b2=，

∴9=（a2+b2）（12+12）≥（a+b）2，

∴a+b≤3，（当且仅当，即时取等号）

又∵a+b≤m恒成立，∴m≥3．

故m的最小值为3．…（4分）

（II）要使2|x-1|+|x|≥a+b恒成立，须且只须2|x-1|+|x|≥3．

∴或或

∴或．…（7分）

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题型：单选题

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单选题

不等式|x+3|+|x-1|≥a2-3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（　　）

A[-1，4]

B（-∞，-2]∪[5，+∞）

C（-∞，-1]∪[4，+∞）

D[-2，5]

正确答案

A

解析

解：令y=|x+3|+|x-1|

的几何意义是数轴上到-3与1的距离的最小值为：4，

所以要使得不等式|x+3|+|x-1|≥a2-3a对任意实数x恒成立

只要a2-3a≤4即可

∴-1≤a≤4

故选A．

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题型：填空题

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填空题

对于任意实数a（a≠0）和b，不等式恒成立，试求实数x的取值范围是______．

正确答案

[0，2]

解析

解：由题意可得≤ 恒成立，

故小于或等于的最小值，

而的最小值等于2，故所求x的范围即为不等式≤2的解集．

由于表示数轴上的x对应点到和对应点的距离之和，

又由于数轴上0和2对应点到和对应点的距离之和等于2，

故不等式≤2的解集为[0，2]，

故答案为[0，2]．

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题型：填空题

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填空题

若关于x的不等式x+|x-1|≤a有解，则实数a的取值范围是______．

正确答案

[1，+∞）

解析

解：令y=x+|x-1|，

当x≤1时y=x+1-x=1，

当x＞1时y=x+x-1=2x-1＞1，

y最小值=1，

要满足x的不等式x+|x-1|≤a有解

则a≥1．

故答案为：[1，+∞）．

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题型：简答题

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简答题

解关于x的不等式|ax-1|＞a+1（a＞-1）．

正确答案

解：|ax-1|＞a+1⇔ax-1＞a+1或ax-1＜-a-1⇔ax＞a+2或ax＜-a．…（2分）

当-1＜a＜0时，x＜或x＞-1，

∴原不等式的解集为（-∞，）∪（-1，+∞）．…（5分）

当a=0时，原不等式的解集为φ．…（7分）

当a＞0时，x＞，或x＜-1，

∴原不等式的解集为（-∞，-1）∪（，+∞）．…（10分）

解析

解：|ax-1|＞a+1⇔ax-1＞a+1或ax-1＜-a-1⇔ax＞a+2或ax＜-a．…（2分）

当-1＜a＜0时，x＜或x＞-1，

∴原不等式的解集为（-∞，）∪（-1，+∞）．…（5分）

当a=0时，原不等式的解集为φ．…（7分）

当a＞0时，x＞，或x＜-1，

∴原不等式的解集为（-∞，-1）∪（，+∞）．…（10分）

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=|lnx|-1．

（1）当x＞0时，解不等式x（x+）≤．

（2）当x∈[t，t+]（0），求函数g（x）=|f（x）|的最大值；

（3）当x＞e时，有f（x）＜x2-（k+2e）x+e2+ke恒成立，求实数k的取值范围．（注：e为自然对数的底数）．

正确答案

解：（1）当x＞0时，不等式x（x+）≤，

等价于 x2+x-≤0，

解得--≤x≤-+．

再根据 x＞0，可得不等式的解集为

{x|0＜x≤-+}．

（2）当x∈[t，t+]（0），

画出函数g（x）=|f（x）|的图象，

如图所示：显然函数g（x）在[t，]上是减函数，

在[，t+]上是增函数，

函数g（x）=|f（x）|在区间[t，t+]的最大值

为 max{g（t），g（t+）}．

（3）当x＞e时，函数f（x）=lnx-1，由题意可得 x2-（k+2e）x+e2+ke-lnx+1＞0恒成立．

即k＜=（x-e）- 恒成立．

令h（x）=（x-e）-，由于函数h（x）是（e，+∞）上的增函数，

且 ==，∴h（x）＞h（e）=0-，∴k≤-，即k的范围为（-∞，-]．

解析

解：（1）当x＞0时，不等式x（x+）≤，

等价于 x2+x-≤0，

解得--≤x≤-+．

再根据 x＞0，可得不等式的解集为

{x|0＜x≤-+}．

（2）当x∈[t，t+]（0），

画出函数g（x）=|f（x）|的图象，

如图所示：显然函数g（x）在[t，]上是减函数，

在[，t+]上是增函数，

函数g（x）=|f（x）|在区间[t，t+]的最大值

为 max{g（t），g（t+）}．

（3）当x＞e时，函数f（x）=lnx-1，由题意可得 x2-（k+2e）x+e2+ke-lnx+1＞0恒成立．

即k＜=（x-e）- 恒成立．

令h（x）=（x-e）-，由于函数h（x）是（e，+∞）上的增函数，

且 ==，∴h（x）＞h（e）=0-，∴k≤-，即k的范围为（-∞，-]．

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题型：填空题

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填空题

不等式的整数解是______．

正确答案

1，2，3

解析

解：∵，

∴-1＜1-＜1，

∴-2＜-＜0，

∴0＜x＜4，

∴整数解是1，2，3

故答案为：1，2，3

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题型：填空题

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填空题

（不等式选讲选做题）若关于x的不等式|x+1|-|x-2|＜a2-4a有实数解，则实数a的取值范围是______．

正确答案

a＞3 或a＜1

解析

解：∵|x+1|-|x-2|≤|（x+1）-（x-2）|=3，

∴-3≤|x+1|-|x-2|≤3，

由不等式a2-4a＞|x+1|-|x-2|有实数解，

知a2-4a＞-3，解得a＞3或a＜1．

故答案为：a＞3 或a＜1．

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题型：单选题

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单选题

不等式的解集是（　　）

A{}

B{}

C{x|＜x＜}

D{x|x＜0或x＜}

正确答案

D

解析

解：由不等式可得或，

即或，解得 x＜0 或 0＜x＜，

故不等式的解集为 {x|x＜0 或 0＜x＜ }，

故选D．

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题型：单选题

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单选题

已知命题p：|x-1|+|x+1|≥3a恒成立，命题q：y=（2a-1）x为减函数，若p且q为真命题，则a的取值范围是（　　）

Aa

B0＜a＜

C

D

正确答案

C

解析

解：命题p：|x-1|+|x+1|≥3a恒成立，由于|x-1|+|x+1|≥2，故有3a≤2，即a≤

命题q：y=（2a-1）x为减函数，可得2a-1∈（0，1），即a∈（，1）

又p且q为真命题，可得a∈（，]

故选C

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