- 绝对值不等式
- 共1623题
已知a>0,b>0,且a2+b2=,若a+b≤m恒成立,
(Ⅰ)求m的最小值;
(Ⅱ)若2|x-1|+|x|≥a+b对任意的a,b恒成立,求实数x的取值范围.
正确答案
解:(Ⅰ)∵a>0,b>0,且a2+b2=,
∴9=(a2+b2)(12+12)≥(a+b)2,
∴a+b≤3,(当且仅当,即
时取等号)
又∵a+b≤m恒成立,∴m≥3.
故m的最小值为3.…(4分)
(II)要使2|x-1|+|x|≥a+b恒成立,须且只须2|x-1|+|x|≥3.
∴或
或
∴或
.…(7分)
解析
解:(Ⅰ)∵a>0,b>0,且a2+b2=,
∴9=(a2+b2)(12+12)≥(a+b)2,
∴a+b≤3,(当且仅当,即
时取等号)
又∵a+b≤m恒成立,∴m≥3.
故m的最小值为3.…(4分)
(II)要使2|x-1|+|x|≥a+b恒成立,须且只须2|x-1|+|x|≥3.
∴或
或
∴或
.…(7分)
不等式|x+3|+|x-1|≥a2-3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为( )
正确答案
解析
解:令y=|x+3|+|x-1|
的几何意义是数轴上到-3与1的距离的最小值为:4,
所以要使得不等式|x+3|+|x-1|≥a2-3a对任意实数x恒成立
只要a2-3a≤4即可
∴-1≤a≤4
故选A.
对于任意实数a(a≠0)和b,不等式恒成立,试求实数x的取值范围是______.
正确答案
[0,2]
解析
解:由题意可得≤
恒成立,
故小于或等于
的最小值,
而的最小值等于2,故所求x的范围即为不等式
≤2的解集.
由于表示数轴上的x对应点到
和
对应点的距离之和,
又由于数轴上0和2对应点到和
对应点的距离之和等于2,
故不等式≤2的解集为[0,2],
故答案为[0,2].
若关于x的不等式x+|x-1|≤a有解,则实数a的取值范围是______.
正确答案
[1,+∞)
解析
解:令y=x+|x-1|,
当x≤1时y=x+1-x=1,
当x>1时y=x+x-1=2x-1>1,
y最小值=1,
要满足x的不等式x+|x-1|≤a有解
则a≥1.
故答案为:[1,+∞).
解关于x的不等式|ax-1|>a+1(a>-1).
正确答案
解:|ax-1|>a+1⇔ax-1>a+1或ax-1<-a-1⇔ax>a+2或ax<-a.…(2分)
当-1<a<0时,x<或x>-1,
∴原不等式的解集为(-∞,)∪(-1,+∞).…(5分)
当a=0时,原不等式的解集为φ.…(7分)
当a>0时,x>,或x<-1,
∴原不等式的解集为(-∞,-1)∪(,+∞).…(10分)
解析
解:|ax-1|>a+1⇔ax-1>a+1或ax-1<-a-1⇔ax>a+2或ax<-a.…(2分)
当-1<a<0时,x<或x>-1,
∴原不等式的解集为(-∞,)∪(-1,+∞).…(5分)
当a=0时,原不等式的解集为φ.…(7分)
当a>0时,x>,或x<-1,
∴原不等式的解集为(-∞,-1)∪(,+∞).…(10分)
已知函数f(x)=|lnx|-1.
(1)当x>0时,解不等式x(x+)≤
.
(2)当x∈[t,t+](0
),求函数g(x)=|f(x)|的最大值;
(3)当x>e时,有f(x)<x2-(k+2e)x+e2+ke恒成立,求实数k的取值范围.(注:e为自然对数的底数).
正确答案
解:(1)当x>0时,不等式x(x+
)≤
,
等价于 x2+x-
≤0,
解得--
≤x≤-
+
.
再根据 x>0,可得不等式的解集为
{x|0<x≤-+
}.
(2)当x∈[t,t+](0
),
画出函数g(x)=|f(x)|的图象,
如图所示:显然函数g(x)在[t,]上是减函数,
在[,t+
]上是增函数,
函数g(x)=|f(x)|在区间[t,t+]的最大值
为 max{g(t),g(t+)}.
(3)当x>e时,函数f(x)=lnx-1,由题意可得 x2-(k+2e)x+e2+ke-lnx+1>0恒成立.
即k<=(x-e)-
恒成立.
令h(x)=(x-e)-,由于函数h(x)是(e,+∞)上的增函数,
且 =
=
,∴h(x)>h(e)=0-
,∴k≤-
,即k的范围为(-∞,-
].
解析
解:(1)当x>0时,不等式x(x+
)≤
,
等价于 x2+x-
≤0,
解得--
≤x≤-
+
.
再根据 x>0,可得不等式的解集为
{x|0<x≤-+
}.
(2)当x∈[t,t+](0
),
画出函数g(x)=|f(x)|的图象,
如图所示:显然函数g(x)在[t,]上是减函数,
在[,t+
]上是增函数,
函数g(x)=|f(x)|在区间[t,t+]的最大值
为 max{g(t),g(t+)}.
(3)当x>e时,函数f(x)=lnx-1,由题意可得 x2-(k+2e)x+e2+ke-lnx+1>0恒成立.
即k<=(x-e)-
恒成立.
令h(x)=(x-e)-,由于函数h(x)是(e,+∞)上的增函数,
且 =
=
,∴h(x)>h(e)=0-
,∴k≤-
,即k的范围为(-∞,-
].
不等式的整数解是______.
正确答案
1,2,3
解析
解:∵,
∴-1<1-<1,
∴-2<-<0,
∴0<x<4,
∴整数解是1,2,3
故答案为:1,2,3
(不等式选讲选做题)若关于x的不等式|x+1|-|x-2|<a2-4a有实数解,则实数a的取值范围是______.
正确答案
a>3 或a<1
解析
解:∵|x+1|-|x-2|≤|(x+1)-(x-2)|=3,
∴-3≤|x+1|-|x-2|≤3,
由不等式a2-4a>|x+1|-|x-2|有实数解,
知a2-4a>-3,解得a>3或a<1.
故答案为:a>3 或a<1.
不等式的解集是 ( )
正确答案
解析
解:由不等式 可得
或
,
即 或
,解得 x<0 或 0<x<
,
故不等式的解集为 {x|x<0 或 0<x< },
故选D.
已知命题p:|x-1|+|x+1|≥3a恒成立,命题q:y=(2a-1)x为减函数,若p且q为真命题,则a的取值范围是( )
正确答案
解析
解:命题p:|x-1|+|x+1|≥3a恒成立,由于|x-1|+|x+1|≥2,故有3a≤2,即a≤
命题q:y=(2a-1)x为减函数,可得2a-1∈(0,1),即a∈(,1)
又p且q为真命题,可得a∈(,
]
故选C
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