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题型:简答题
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简答题

已知命题p:|x-8|<2,q:>0,r:x2-3ax+2a2<0(a>0).若命题r是命题p的必要不充分条件,且r是q的充分不必要条件,试求a的取值范围.

正确答案

因为命题p:|x-8|<2,所以p:{x|6<x<10}.

q:>0,可知q:{x|x>1}.

r:x2-3ax+2a2<0(a>0).所以r:{x|a<x<2a},

由命题r是命题p的必要不充分条件,且r是q的充分不必要条件,

可得:,解得5≤a≤6.

所以a的取值范围[5,6].

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题型:简答题
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简答题

已知命题p:|4-x|≤6,q:x2-2x+1-a2≥0(a>0),若非p是q的充分不必要条件,求a的取值范围.

正确答案

¬p:|4-x|>6,x>10,或x<-2,

A={x|x>10,或x<-2}

q:x2-2x+1-a2≥0,x≥1+a,或x≤1-a,

记B={x|x≥1+a,或x≤1-a}

而¬p⇒q,∴A⊊B,即,∴0<a≤3.

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题型:简答题
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简答题

设函数f(x)=|x-m|-mx,其中m为常数且m<0.

(1)解关于x的不等式f(x)<0;

(2)试探求f(x)存在最小值的充要条件,并求出相应的最小值.

正确答案

(1)由f(x)<0得,|x-m|<mx,得-mx<x-m<mx,

①当m=-1时,⇒x<-

②当-1<m<0时,<x<

③当m<-1时,⇒x<

综上所述,当m<-1时,不等式解集为{x|x<};

当m=-1时,不等式解集为{x|x<-};

当-1<m<0时,不等式解集为{x|<x<}.

(2)f(x)=

∵m<0,∴1-m>0,f(x)在[m,+∞)上单调递增,要使函数f(x)存在最小值,

则f(x)在(-∞,m)上是减函数或常数,

∴-(1+m)≤0即m≥-1,又m<0,

∴-1≤m<0.

故f(x)存在最小值的充要条件是-1≤m<0,且f(x)min=f(m)=-m2

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题型:简答题
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简答题

已知p:|1-|≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),若¬p是¬q的充分而不必要条件,求实数m的取值范围.

正确答案

由x2-2x+1-m2≤0(m>0)得  1-m≤x≤1+m

故¬q:A={x|x<1-m或x>1+m,m>0}

由  |1-|≤2,得-2≤x≤10

故¬p:B={x|x<-2或x>10}

∵¬p是¬q的充分而不必要条件

解得 0<m≤3

∴实数m的取值范围  0<m≤3

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题型:填空题
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填空题

已知P:|2x-3|>1;q:>0,则¬p是¬q的______条件.

正确答案

p的解集{x|x>2或x<1},所以非p的解集{x|1≤x≤3},

q的解集{x|x>2或x<-3},所以非q的解集{x|-3≤x≤2},

∵{x|1≤x≤3}⊂{x|-3≤x≤2},

∴非p是非q的充分不必要条件.

故答案为:充分不必要.

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题型:简答题
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简答题

己知集合A={x||x-1|<1},B=,C={x|2x2+mx-1<0}    若“x∈A∩B是“x∈C的充分不必要条件,求m的取值范围。

正确答案

解:A={x|0

∴A∩B={x|1

∵ “x ∈A ∩B”是“x ∈C”的充分不必要条件      

∴A ∩BC

∴2×22+2m-1≤0

即m≤    

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题型:简答题
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简答题

已知集合A={x||1-|≤2};集合B={x|x2-2x+1-m2≤0}的解集,若CRA是∁RB的必要不充分条件;

求:

(Ⅰ)集合A,B;                     

(Ⅱ)实数m的取值范围.

正确答案

(Ⅰ)由|1-|≤2得:-2≤≤2,

∴-2≤x≤10,

∴A=[-2,10];

∵x2-2x+1-m2=[x-(1-m)][x-(1+m)]≤0,

∴当m≥0时,B=[1-m,1+m];

当m<0时,B=[1+m,1-m];

(Ⅱ)∵CRA是∁RB的必要不充分条件,

∴B是A的必要不充分条件.

∴当m≥0时,A=[-2,10]⊆B=[1-m,1+m];

∴m≥9;

当m<0时,A=[-2,10]⊆B=[1+m,1-m];

同理可得,m≤-9.

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题型:填空题
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填空题

设A={x|<0},B={x||x-b|<a),若“a=1”是“A∩B≠Φ”的充分条件,则实数b的取值范围是______.

正确答案

∵A={x| <0}={x|-1<x<1},

B={x||x-b|<a}={x|b-a<x<b+a},

∵“a=1”是“A∩B≠Φ”的充分条件,∴{x|-1<x<1}∩{x|b-1<x<b+1}≠Φ,

当b=0时,A=B,满足条件.

当b≠0时,应有 b-1<-1<b+1,或 b-1<1<b+1.

解得-2<b<0,或 0<b<2.

综上可得-2<b<2,

故答案为 (-2,2).

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题型:简答题
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简答题

已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,且f(x)=x2+2x.

(Ⅰ)求函数g(x)的解析式;

(Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|.

正确答案

(Ⅰ)设函数y=f(x)的图象上任意一点Q(x0,y0)关于原点的对称点为P(x,y),则P在g(x)的图象上,

 且 ,即

∵点Q(x0,y0)在函数y=f(x)的图象上,

∴-y=x2-2x,即y=-x2+2x,故,g(x)=-x2+2x.

(Ⅱ)由g(x)≥f(x)-|x-1|,可得2x2-|x-1|≤0

当x≥1时,2x2-x+1≤0,此时不等式无解.

当x<1时,2x2+x-1≤0,解得-1≤x≤.因此,原不等式的解集为[-1,].

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题型:简答题
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简答题

设函数f(x)=|2x-1|+|2x-3|,x∈R.

(1)解不等式f(x)≤5;

(2)若g(x)=的定义域为R,求实数m的取值范围.

正确答案

(1)

不等式的解集为x∈[-]

(2)若g(x)=的定义域为R,则f(x)+m≠0恒成立,即f(x)+m=0在R上无解

又f(x)=|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-2x+3|=2,f(x)的最小值为2,

所以m>-2.

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