绝对值不等式_章节学习

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题型：填空题

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填空题

已知a＞0，定义在D上的函数f（x）和g（x）的值域依次是[-（2a+3）π3，a+6]和[a2+，(a2+)π4]，若存在x1，x2∈D，使得|f(x1)-g(x2)|＜成立，则a的取值范围为______．

正确答案

∵定义在D上的函数f（x）和g（x）的值域依次是[-（2a+3）π3，a+6]和[a2+，(a2+)π4]，

∴f（x）的最大值为a+6，g（x）的最小值为：a2+，

∵存在x1，x2∈D，使得|f(x1)-g(x2)|＜成立，则

∴|a2+-（a+6）|＜，

解之得：0＜a＜1，

故答案为：（0，1）．

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题型：填空题

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填空题

已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数m＞0，对任意x∈R，有|f（x）|≤m|x|，则称函数f（x）为F-函数．给出下列函数：①f（x）=x2；②f（x）=；③f（x）=2x；④f（x）=sin2x．其中是F-函数的序号为______．

正确答案

对于①，|f（x）|＜m|x|，显然不成立，故其不是F-函数．

对于②f（x）=，|f（x）|==≤1×|x|，故函数f（x）为F-函数．

对于③f（x）=2x ，|f（x）|＜m|x|，显然不成立，故其不是F函数．

对于 ④f（x）=sin2x，由于|f（x）|=|sin2x|≤|2x|=2|x|，故函数f（x）为F-函数．

故答案为 ②④．

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题型：填空题

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填空题

若|x（x-2）|＞0，则y=的取值范围是 ______．

正确答案

∵|x（x-2）|＞0，∴x≠0，且 x≠2，∴y=x+-3，

当 x＞0时，由基本不等式得 y≥2-3=1（当且仅当x=2时等号成立），

∵x≠2，∴y＞1．

当 x＜0时，∵（-x）+（-）≥4（当且仅当x=-2时等号成立），∴x+≤-4，

∴y≤-4-3=-7，故 y=的取值范围是（-∞，-7]∪（1，+∞），

故答案为：（-∞，-7]∪（1，+∞）．

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题型：填空题

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填空题

函数f(x)=的定义域为______．

正确答案

由题知：log2（x-1）≠0，且x-1＞0，解得x＞1且x≠2，

又因为|x-2|-1≥0，解得：x≥3或x≤1，

所以x≥3．

故答案为：{x|x≥3}．

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题型：简答题

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简答题

已知f（x）是定义在集合D上的函数，且-1＜f′（x）＜0．

（1）若f(x)=-+asinx，在[，π]（[，π]⊆D）上的最大值为，试求不等式|ax+1|＜a的解集．

（2）若对于定义域中任意的x1，x2，存在正数ε，使|x1-1|＜且|x2-1|＜，求证：|f（x1）-f（x2）|＜ε．

正确答案

（1）由于f′（x）＜0，则函数f（x）在[，π]上单调递减，

故fmax(x)=f()=-+asin=，解得a=

则原不等式为|x+1|＜，解之得-5＜x＜-3

故原不等式的解集为（-5，-3）；

（2）不妨设x1＜x2，令g（x）=f（x）+x

由于f′（x）＞-1，故g′（x）=f′（x）+1＞0，则函数g（x）为其定义域上的增函数，

即g(x1)＜g(x2 )，亦即f(x1)+x1＜f(x2 )+x2 ，

则f(x1)-f(x2 )＜x2-x1

又由函数f（x）在D上递减，则f(x1)＞f(x2 )

故|f(x1)-f(x2 )|＜|x2-x1 |

∵|f(x1)-f(x2 )|＜|x2-x1 |=|(x2-1)-(x1 -1)|≤|x2-1|-|x1 -1|＜+=ɛ

∴|f(x1)-f(x2 )|＜ɛ

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题型：简答题

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简答题

设函数f（x）=|x-a|-ax，其中0＜a＜1为常数

（1）解不等式f（x）＜0；

（2）试推断函数f（x）是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，说明理由．

正确答案

（1）不等式即为|x-a|＜ax，0＜a＜1，若x≤0，则ax≤0，故不等式不成立；

若x＞0，不等式化为（x-a）2＜a2x2，即[（1+a）x-a][（1-a）x-a]＜0，

由0＜a＜1可得，＜x＜，故不等式解集为{x|＜x＜}．

（2）由条件得：f（x）=，

∵1＞a＞0，

∴-（1+a）＜0，1-a＞0，故函数f（x）在（-∞，a）上是减函数，且在[a，+∞）上是增函数．

故当 x=a 时，f（x）存在最小值f（a）．

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=x|x-2|．

（Ⅰ）写出f（x）的单调区间；

（Ⅱ）解不等式f（x）＜3；

（Ⅲ）设0＜a≤2，求f（x）在[0，a]上的最大值．

正确答案

（1）函数f（x）=x|x-2|=

∴f（x）的单调增区间是（-∞，1]和[2，+∞）；单调减区间是[1，2]．

（2）f（x）＜3，即 x|x-2|＜3，∴或，

∴2≤x＜3 或 x＜2∴不等式f（x）＜3的解集为{x|2≤x＜3 或 x＜2 }．

（3）当0＜a1 时，f（x）是[0，a]上的增函数，此时f（x）在[0，a]上的

上的最大值是 f（a）=a（2-a）．

．当1＜a≤2 时，f（x）在[0，1]上是增函数，在[1，a]上是减函数，此时，

此时f（x）在[0，a]上的上的最大值是 f（1）=1．

综上，当0＜a1 时，此时f（x）在[0，a]上的上的最大值是 f（a）=a（2-a）．

当1＜a≤2 时，f（x）在[0，a]上的上的最大值是1．

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题型：填空题

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填空题

函数y=的定义域是______．

正确答案

由题意得|3x+1|-2≥0，即|3x+1|≥2，

故有3x+1≥2或3x+1≤-2

解得x≥或x≤-1

函数y=的定义域是{x|x≥或x≤-1 }

故答案为{x|x≥或x≤-1 }

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题型：填空题

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填空题

已知g（x）=|x-1|-|x-2|，则g（x）的值域为______；若关于x的不等式g（x）≥a2+a+1（x∈R）的解集为空集，则实数a的取值范围是______．

正确答案

由于已知g（x）=|x-1|-|x-2|，表示数轴上的x对应点到1对应点的距离减去它到2对应点的距离，

则-1≤g（x）≤1，故g（x）的值域为[-1，1]．

若关于x的不等式g（x）≥a2+a+1（x∈R）的解集为空集，则有g（x）＜a2+a+1的解集为R，

即g（x）＜a2+a+1恒成立，故有a2+a+1＞1，解得a＜-1，或a＞1．

故实数a的取值范围为（-∞，-1）∪（1，+∞），

故答案为[-1，1]、（-∞，-1）∪（1，+∞）．

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题型：简答题

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简答题

设函数f（x）=|1-|（x＞0），证明：当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，ab＞1．

正确答案

证明：方法一：由师意f（a）=f（b）⇔|1-|=|1-|⇔（1-）2=（1-）2⇔2ab=a+b≥2

故ab-≥0，即（-1）≥0，故-1≥0，故ab＞1．

方法二：不等式可以变为f（x）=

对函数进行分析知f（x）在（0，1]上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．

由0＜a＜b且f（a）=f（b），得0＜a＜1＜b且-1=1-，

即+=2⇔a+b=2ab≥2

故ab-≥0，即（-1）≥0，

故-1≥0，即ab＞1

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