- 绝对值不等式
- 共1623题
函数y=f(x)的定义域D={x|x∈R,且x≠0},对定义域D内任意两个实数x1,x2,都有f(x1)+f(x2)=f(x1x2)成立.
(1)求f(-1)的值并证明y=f(x)为偶函数;
(2)若f(-4)=4,记 an=(-1)n•f(2n),求数列{an}的前2009项的和S2009;
(3)(理) 若x>1时,f(x)<0,且不等式f()≤f(
)+f(a)对任意正实数x,y恒成立,求非零实数a的取值范围.
(4)(文) 若x>1时,f(x)<0,解关于x的不等式 f(x-3)≥0.
正确答案
(1)赋值得f(1)=f(-1)=0,…(2分)
∵f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x)
∴函数为偶函数 …(4分)
(2)f(-4)=4得f(2)=2,f(2n)=f(2n-1)+f(2)
∴f(2n)=2n…(8分)
∴an=2•(-1)nn,
∴S2009=-2010…(10分)
(3)设 0<x<1,则>1,0=f(1)=f(x)+f(
),得f(x)>0(0<x<1)…(14分)
(理)f()≤f(
)+f(a)得f(
)≤0⇔
≥1|a|≤
恒成立,
又≥
,从而0<|a|≤
…(18分)
(4)(文)f(x-3)≥0⇔0<|x-3|≤1⇔2≤x<3或3<x≤4…(18分)
当0≤x≤1时,如果关于x的不等式x|x-a|<2恒成立,那么a的取值范围是______.
正确答案
当x=0时,|a|<2解得a∈(-2,2)
当0<x≤1时,不等式x|x-a|<2恒成立可转化成|x-a|<
而函数y=在(0,1]上单调递减,有最小值为2
当a∈[0,1]时,|x-a|<恒成立
当a>1时,然后y=|x-a|=a-x,只需a-1<2即1<a<3
当a<0时,然后y=|x-a|=x-a,只需1-a<2即-1<a<0
综上所述a∈(-1,3)
故答案为:(-1,3)
已知不等式|2x-a|>x-1对任意x∈[0,2]恒成立,则实数a的取值范围是______.
正确答案
当x<1时,x-1<0,|2x-a|>x-1恒成立,所以只考虑x∈[1,2]的情况.
当2x-a>0时,不等式即 2x-a>x-1,即 a<x+1,可得a<2.
当2x-a≤0时,不等式即 a-2x>x-1,即a>3x-1,可得a>5.
所以,不等式恒成立时,实数a的取值范围是{a|a<2,或者a>5},
故答案为 {a|a<2,或者a>5}.
已知函数f(x)=|x+a|.
(Ⅰ)当a=-1时,求不等式f(x)≥|x+1|+1的解集;
(Ⅱ)若不等式f(x)+f(-x)<2存在实数解,求实数a的取值范围.
正确答案
(Ⅰ) 当a=-1时,不等式f(x)≥|x+1|+1可化为|x-1|-|x+1|≥1,
化简可得,或
,或
.
解得x≤-1,或-1<x≤-,即所求解集为{x|x≤-
}. …(5分)
(Ⅱ)令g(x)=f(x)+f(-x),则g(x)=|x+a|+|x-a|≥2|a|,∴g(x)的最小值为2|a|.
依题意可得2>2|a|,即-1<a<1.
故实数a的取值范围是(-1,1). …(10分)
设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N+,b,c∈R)
(Ⅰ)当b>0时,判断函数fn(x)在(0,+∞)上的单调性;
(Ⅱ)设n≥2,b=1,c=-1,证明:fn(x)在区间(,1)内存在唯一的零点;
(Ⅲ)设n=2,若对任意x1,x2∈[-1,1],有|f2(x1)-f2(x2)|≤4,求b的取值范围.
正确答案
(Ⅰ)∵fn(x)=xn+bx+c,
∴fn′(x)=nxn-1+b
∵b>0,x>0,n∈N+
∴fn′(x)>0
∴函数fn(x)在(0,+∞)上的单调递增;
(Ⅱ)证明:由n>2,b=1,c=-1,得fn(x)=xn+x-1
∴fn′(x)=nxn-1+1>0在(,1)上恒成立,
∴fn(x)=xn+x-1在(,1)单调递增,
∵fn(1)=1>0,fn()=(
)n-
<0,
∴fn(x)在区间(,1)内存在唯一的零点;
(Ⅲ)当n=2时,f2(x)=x2+bx+c
①当b≥2或b≤-2时,即-≤-1或-
≥1,此时只需满足|f2(1)-f2(-1)|=|2b|≤4
∴-2≤b≤2,即b=±2;
②当0≤b<2时,即-1<-≤0,此时只需满足f2(1)-f2(-
)≤4,即b2+4b-12≤0
解得:-6≤b≤2,即b∈[0,2)
③当-2<b<0时,即0<-<1,此时只需满足f2(-1)-f2(-
)≤4,即b2-4b-12≤0
解得:-2≤b≤6,即b∈(-2,0)
综上所述:b∈[-2,2].
设f(x)=,解不等式f(x)-1≥0.
正确答案
①当x≥1时,原不等式等价于|x-1|-1≥0,即x≥2或x≤0…(3分)
∴x≥2. …(5分)
②当x<1时,原不等式等价于-1≥0,即x≥3或x<0…(8分)
∴x<0. …(10分)
综上所述,不等式f(x)-1≥0的解集为(-∞,0)∪[2,+∞). …(12分)
已知对于任意非零实数m,不等式|5m-3|+|3-4m|≥|m|(x-)恒成立,则实数x的取值范围是______.
正确答案
已知不等式 |5m-3|+|3-4m|≥|m|(x-)恒成立,
可变形为 (|5m-3|+|3-4m|)≥(x-
)恒成立,
因为对于任意非零实数m,≥
=1
所以只需 x-≤1⇒
≤0
得x的取值范围为(-∞,-1]∪(0,2],
故答案为(-∞,-1]∪(0,2].
若满足|x|≤1的实数x都满足x<m,则m的取值范围是______.
正确答案
∵|x|≤1,
∴-1≤x≤1,
∵满足|x|≤1的实数x都满足x<m,
∴所有的[-1,1]之间的数字都小于m,即对于所有的自变量x是恒成立的,
∴m>1,
故答案为:m>1.
已知函数f(x)=|x-3|-2,g(x)=-|x+1|+4,
(1)若函数f(x)的值不大于1,求x的取值范围;
(2)若函数f(x)-g(x)≥m+1的解集为R,求m的取值范围。
正确答案
解:(1)由题意得f(x)≤1,即|x-3|-2≤1得|x-3|≤3,
因为,
所以x的取值范围是[0,6];
(2)f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6,
因为,由绝对值的三角不等式得
f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6
=,
于是有m+1≤-2,得m≤-3,
即m的取值范围是(-∞,-3]。
定义在R1的函数f(x)满足:如果对任意x1,x2∈R,都有f()≤
[f(x1)+f(x2)],则称f(x)是R1凹函数.已知二次函数f(x)=ax2+x(a∈R,且a≠0).
(1)求证:当a>0时,函数f(x)的凹函数;
(2)如果x∈[0,1]时,|f(x)|≤1,试求a的取值范围.
正确答案
(1)证明:∵二次函数f(x)=ax2+x
∴任取x1,x2∈k,则f()-
[f(x1)+f(x2)]=a(
)2+
-
(a
+x1+a
+x2)=-
a(x1-x2)2
∵a>0,(x1-x2)2≥0,∴a(x1-x2)2≥0
∴f()-
[f(x1)+f(x2)]≤0
∴f()≤
[f(x1)+f(x2)]
∴当a>0时,函数f(x)的凹函数;
(2)由-1≤f(x)=ax2+x≤1,则有ax2≥-x-1且ax2≤-x+1.
(i)若x=0时,则a∈k恒成立,
(ii)若x∈(0,1]时,有 a≥--
且a≤-
+
∴a≥--
=-(
+
)2+
且a≤-
+
=(
-
)2-
,
∵0<x≤1,∴≥1.
∴当=1时,-(
+
)2+
的最4值为-(1+
)2+
=-2,(
-
)2-
的最小值为(1-
)2-
=0
∴0≥a≥-2.
综(i)(ii)知,0≥a≥-2
扫码查看完整答案与解析