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题型:简答题
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简答题

函数y=f(x)的定义域D={x|x∈R,且x≠0},对定义域D内任意两个实数x1,x2,都有f(x1)+f(x2)=f(x1x2)成立.

(1)求f(-1)的值并证明y=f(x)为偶函数;

(2)若f(-4)=4,记 an=(-1)n•f(2n),求数列{an}的前2009项的和S2009

(3)(理) 若x>1时,f(x)<0,且不等式f()≤f()+f(a)对任意正实数x,y恒成立,求非零实数a的取值范围.

(4)(文) 若x>1时,f(x)<0,解关于x的不等式 f(x-3)≥0.

正确答案

(1)赋值得f(1)=f(-1)=0,…(2分)

∵f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x)

∴函数为偶函数              …(4分)

(2)f(-4)=4得f(2)=2,f(2n)=f(2n-1)+f(2)

∴f(2n)=2n…(8分)

∴an=2•(-1)nn,

∴S2009=-2010…(10分)

(3)设 0<x<1,则>1,0=f(1)=f(x)+f(),得f(x)>0(0<x<1)…(14分)

(理)f()≤f()+f(a)得f()≤0⇔≥1|a|≤恒成立,

,从而0<|a|≤…(18分)

(4)(文)f(x-3)≥0⇔0<|x-3|≤1⇔2≤x<3或3<x≤4…(18分)

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题型:填空题
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填空题

当0≤x≤1时,如果关于x的不等式x|x-a|<2恒成立,那么a的取值范围是______.

正确答案

当x=0时,|a|<2解得a∈(-2,2)

当0<x≤1时,不等式x|x-a|<2恒成立可转化成|x-a|<

而函数y=在(0,1]上单调递减,有最小值为2

当a∈[0,1]时,|x-a|<恒成立

当a>1时,然后y=|x-a|=a-x,只需a-1<2即1<a<3

当a<0时,然后y=|x-a|=x-a,只需1-a<2即-1<a<0

综上所述a∈(-1,3)

故答案为:(-1,3)

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题型:填空题
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填空题

已知不等式|2x-a|>x-1对任意x∈[0,2]恒成立,则实数a的取值范围是______.

正确答案

当x<1时,x-1<0,|2x-a|>x-1恒成立,所以只考虑x∈[1,2]的情况.

当2x-a>0时,不等式即 2x-a>x-1,即 a<x+1,可得a<2.

当2x-a≤0时,不等式即 a-2x>x-1,即a>3x-1,可得a>5.

所以,不等式恒成立时,实数a的取值范围是{a|a<2,或者a>5},

故答案为 {a|a<2,或者a>5}.

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题型:简答题
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简答题

已知函数f(x)=|x+a|.

(Ⅰ)当a=-1时,求不等式f(x)≥|x+1|+1的解集;

(Ⅱ)若不等式f(x)+f(-x)<2存在实数解,求实数a的取值范围.

正确答案

(Ⅰ) 当a=-1时,不等式f(x)≥|x+1|+1可化为|x-1|-|x+1|≥1,

化简可得,或,或

解得x≤-1,或-1<x≤-,即所求解集为{x|x≤-}.  …(5分)

(Ⅱ)令g(x)=f(x)+f(-x),则g(x)=|x+a|+|x-a|≥2|a|,∴g(x)的最小值为2|a|.

依题意可得2>2|a|,即-1<a<1.

故实数a的取值范围是(-1,1).    …(10分)

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题型:简答题
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简答题

设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N+,b,c∈R)

(Ⅰ)当b>0时,判断函数fn(x)在(0,+∞)上的单调性;

(Ⅱ)设n≥2,b=1,c=-1,证明:fn(x)在区间(,1)内存在唯一的零点;

(Ⅲ)设n=2,若对任意x1,x2∈[-1,1],有|f2(x1)-f2(x2)|≤4,求b的取值范围.

正确答案

(Ⅰ)∵fn(x)=xn+bx+c,

∴fn′(x)=nxn-1+b

∵b>0,x>0,n∈N+

∴fn′(x)>0

∴函数fn(x)在(0,+∞)上的单调递增;

(Ⅱ)证明:由n>2,b=1,c=-1,得fn(x)=xn+x-1

∴fn′(x)=nxn-1+1>0在(,1)上恒成立,

∴fn(x)=xn+x-1在(,1)单调递增,

∵fn(1)=1>0,fn)=()n-<0,

∴fn(x)在区间(,1)内存在唯一的零点;

(Ⅲ)当n=2时,f2(x)=x2+bx+c

①当b≥2或b≤-2时,即-≤-1或-≥1,此时只需满足|f2(1)-f2(-1)|=|2b|≤4

∴-2≤b≤2,即b=±2;

②当0≤b<2时,即-1<-≤0,此时只需满足f2(1)-f2(-)≤4,即b2+4b-12≤0

解得:-6≤b≤2,即b∈[0,2)

③当-2<b<0时,即0<-<1,此时只需满足f2(-1)-f2(-)≤4,即b2-4b-12≤0

解得:-2≤b≤6,即b∈(-2,0)

综上所述:b∈[-2,2].

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题型:简答题
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简答题

设f(x)=,解不等式f(x)-1≥0.

正确答案

①当x≥1时,原不等式等价于|x-1|-1≥0,即x≥2或x≤0…(3分)

∴x≥2.    …(5分)

②当x<1时,原不等式等价于-1≥0,即x≥3或x<0…(8分)

∴x<0.   …(10分)

综上所述,不等式f(x)-1≥0的解集为(-∞,0)∪[2,+∞).   …(12分)

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题型:填空题
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填空题

已知对于任意非零实数m,不等式|5m-3|+|3-4m|≥|m|(x-)恒成立,则实数x的取值范围是______.

正确答案

已知不等式 |5m-3|+|3-4m|≥|m|(x-)恒成立,

可变形为 (|5m-3|+|3-4m|)≥(x-)恒成立,

因为对于任意非零实数m,=1

所以只需 x-≤1⇒≤0

得x的取值范围为(-∞,-1]∪(0,2],

故答案为(-∞,-1]∪(0,2].

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题型:填空题
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填空题

若满足|x|≤1的实数x都满足x<m,则m的取值范围是______.

正确答案

∵|x|≤1,

∴-1≤x≤1,

∵满足|x|≤1的实数x都满足x<m,

∴所有的[-1,1]之间的数字都小于m,即对于所有的自变量x是恒成立的,

∴m>1,

故答案为:m>1.

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题型:简答题
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简答题

已知函数f(x)=|x-3|-2,g(x)=-|x+1|+4,

(1)若函数f(x)的值不大于1,求x的取值范围;

(2)若函数f(x)-g(x)≥m+1的解集为R,求m的取值范围。

正确答案

解:(1)由题意得f(x)≤1,即|x-3|-2≤1得|x-3|≤3,

因为

所以x的取值范围是[0,6];

(2)f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6,

因为,由绝对值的三角不等式得

f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6

=

于是有m+1≤-2,得m≤-3,

即m的取值范围是(-∞,-3]。

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题型:简答题
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简答题

定义在R1的函数f(x)满足:如果对任意x1,x2∈R,都有f()≤[f(x1)+f(x2)],则称f(x)是R1凹函数.已知二次函数f(x)=ax2+x(a∈R,且a≠0).

(1)求证:当a>0时,函数f(x)的凹函数;

(2)如果x∈[0,1]时,|f(x)|≤1,试求a的取值范围.

正确答案

(1)证明:∵二次函数f(x)=ax2+x

∴任取x1,x2∈k,则f()-[f(x1)+f(x2)]=a(2+-(a+x1+a+x2)=-a(x1-x2)2

∵a>0,(x1-x2)2≥0,∴a(x1-x2)2≥0

∴f()-[f(x1)+f(x2)]≤0

∴f()≤[f(x1)+f(x2)]

∴当a>0时,函数f(x)的凹函数;

(2)由-1≤f(x)=ax2+x≤1,则有ax2≥-x-1且ax2≤-x+1.

(i)若x=0时,则a∈k恒成立,

(ii)若x∈(0,1]时,有 a≥--且a≤-+

∴a≥--=-(+2+且a≤-+=(-2-

∵0<x≤1,∴≥1.

∴当=1时,-(+2+的最4值为-(1+2+=-2,(-2-的最小值为(1-2-=0

∴0≥a≥-2.

综(i)(ii)知,0≥a≥-2

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