- 绝对值不等式
- 共1623题
设f(x)=|x-1|+|x+1|,若不等式对任意实数a≠0恒成立,则x取值集合是______.
正确答案
解析
解:由题意可得|x-1|+|x+1|≥对任意实数a≠0恒成立.
即|a|(|x-1|+|x+1|)≥|a+1|-|2a-1|对任意实数a≠0恒成立.
而|a+1|-|2a-1|≤|a+1+2a-1|=|3a|,
故|a|(|x-1|+|x+1|)≥|3a|,故|x-1|+|x+1|≥3.
∴,或
,或
.
x≤-,或x∈∅,或x≥
,故x取值集合是
,
故答案为 .
已知命题p:不等式|x-4|+|x-3|<m在实数集R上的解集不是空集,命题q:f(x)=-(5-2m)x是增函数,若p,q中有且仅有一个为真命题,则实数m的取值范围是______.
正确答案
解析
解:若命题p是真命题,由于|x-3|+|x-4|的几何意义是数轴上的点x 到3和4的距离之和,
当x在3、4之间时,这个距离和最小,是1,其它情况都大于1.
所以|x-3|+|x-4|≥1,
如果不等式|x-4|+|x-3|<m 的解集不是空集,所以 m>1.
若命题q是真命题,即f(x)=-(5-2m)x是增函数,则 0<5-2m<1,解得 2<m<.
由于p,q中有且仅有一个为真命题,故m>1 和2<m< 中只能有仅有一个成立,
∴1<m≤2,或 m≥.
故答案为 .
实数a,b满足ab<0,那么( )
正确答案
解析
解:用赋值法.令a=1,b=-1,代入检验;
A选项为2<2不成立,
B选项为0>2不成立,
D选项为2<2不成立,
故选C.
选做题:请考生在下列两题中任选一题作答.若两题都做,则按做的第一题评阅计分.本题共5分.
(1)(不等式选讲)若实数x、y满足|x|+|y|≤1,则x2-xy+y2的最大值为______.
(2)(坐标系与参数方程)若直线(t为参数)与直线4x+ky=1垂直,则常数k=______.
正确答案
1
-6
解析
解:(1)∵|x|+|y|≤1,∴x2 +2|xy|+y2≤1.
∵由于 x2-xy+y2≤x2 +|xy|+y2≤x2 +2|xy|+y2≤1,故 x2-xy+y2 的最大值为1,
当且仅当x=0或 y=0时,x2-xy+y2 有最大值为1,
故答案为 1.
(2)把直线(t为参数)消去参数化为普通方程为 3x+2y-7=0.
由于它和与直线4x+ky=1垂直,故有斜率之积等于-1,即-×(-
)=-1,解得k=-6,
故答案为-6.
不等式|x+3|-|x-1|≥-2的解集为( )
正确答案
解析
解:由于|x+3|-|x-1|表示数轴上的x对应点到-3和1对应点的距离之差,
数轴上的-2到-3和1对应点的距离之差等于-2,
故不等式|x+3|-|x-1|≥-2的解集为[-2,+∞),
故选:C.
选做题:(请考生在以下三个小题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评阅记分)
A.(选修4-4坐标系与参数方程)已知点A是曲线ρ=2sinθ上任意一点,则点A到直线的距离的最小值是______.
B.(选修4-5不等式选讲)不等式|2x-1|+|2x-3|≥4的解集是______.
C.(选修4-1几何证明选讲)如图所示,AC和AB分别是圆O的切线,且OC=3,AB=4,延长AO到D点,则△ABD的面积是______.
正确答案
(-∞,0]∪[2,+∞)
解析
解:A 曲线ρ=2sinθ即 ρ2=2ρsinθ,化为直角坐标方程为 x2+(y-1)2=1,表示以(0,1)为圆心,以1为半径的圆.
直线 即
+
=4,化为直角坐标方程为
.
由于圆心到直线的距离等于 d==
,
故点A到直线的距离的最小值为
-1=
.
故答案为 .
B 由不等式|2x-1|+|2x-3|≥4 可得 ①,或
②,或
③.
解①得 x≤0,解②得 x∈∅,解 ③得 x≥2.
故原不等式的解集为{x|x≤0,或 x≥2},
故答案为 (-∞,0]∪[2,+∞).
C 令∠AOB=θ,则∠BOD=π-θ. Rt△AOB中,由勾股定理可得 AO==
=5.
由正弦定理可得 ,即
,∴sinθ=
.
故△ABD的面积 S△ABD=S△ABO+S△BOD=+
=
+
=
.
故答案为 .
下列四个命题中正确的是( )
正确答案
解析
解:对于A,若a,b∈R,则|a|-|b|<|a+b|.令a=1,b=-1.则|a|-|b|=|a+b|,故A不成立.
对于B,若a,b∈R,则|a-b|<|a|+|b|.令a=1,b=0,则|a-b|=|a|+|b|.故B不成立.
对于D,若实数a,b满足|a|-|b|<|a+b|,则ab<0,设a=1,b=2,满足|a|-|b|<|a+b|,但ab>0,.故D不成立.
故选择C.
解不等式:||x+log3x|<|x|+|log3x|.
正确答案
解:由对数函数的定义域得x>0,所以原不等式可化为|x+log3x|<x+|log3x|
①当log3x≥0时,x+log3x<x+log3x不成立
②当log3x<0时,|x+log3x|<x-log3x
此不等式等价于即
;
∴0<x<1
故原不等式的解集为{x|0<x<1}
解析
解:由对数函数的定义域得x>0,所以原不等式可化为|x+log3x|<x+|log3x|
①当log3x≥0时,x+log3x<x+log3x不成立
②当log3x<0时,|x+log3x|<x-log3x
此不等式等价于即
;
∴0<x<1
故原不等式的解集为{x|0<x<1}
已知p:|x-4|≤6,q:[x-(1-m)][x-(1+m)]≤0(m>0),若¬P是¬q的充分不必要条件,则实数m的取值范围是( )
正确答案
解析
解:∵¬P是¬q的充分不必要条件,
∴q是p的充分不必要条件.
∵p:|x-4|≤6⇔-2≤x≤10,
q:[x-(1-m)][x-(1+m)]≤0(m>0)⇔1-m≤x≤1+m,(m>0),
∴,解得m≤3,又m>0,
∴0<m≤3.
故选D.
不等式|x-1|-|x+2|≤a恒成立,则参数a的取值范围是______.
正确答案
[3,+∞)
解析
解:由于|x-1|-|x+2|表示数轴上的x对应点到1对应点的距离减去数轴上的x对应点到-2对应点的距离,
故|x-1|-|x+2|的最大值等于3.
要使不等式|x-1|-|x+2|≤a恒成立,需a≥3,
故答案为[3,+∞).
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