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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

函数f(x)=ex+x2﹣2在区间(﹣2,1)内零点的个数为(  )

A1

B2

C3

D4

正确答案

B

解析

解:∵f(x)=ex+x2﹣2

得f'(x)=ex+2x

f''(x)=ex+2>0

从而f'(x)是增函数,

f'(﹣2)=﹣4<0

f'(0)=1>0

从而f'(x)在(﹣2,1)内有唯一零点x0,满足

则在区间(﹣2,x0)上,有f'(x)<0,f(x)是减函数,

在区间(x0,1)上,f'(x)>0,f(x)是增函数。

因为f(﹣2)=+2>0,f(x0)<f(0)=﹣1<0,f(1)=e﹣1>0

从而f(x)在(﹣2,1)上有两个零点。

故选B

知识点

变化的快慢与变化率
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知

(1)当a=-3时,求证:在R上是减函数;

(2)如果对不等式恒成立,求实数a的取值范围.

正确答案

见解析。

解析

(1)当时,      

      ∴上是减函数

(2)∵不等式恒成立

不等式恒成立

不等式恒成立   

时,  不恒成立 

时,不等式恒成立

   

时,不等式不恒成立

综上所述,的取值范围是          

知识点

变化的快慢与变化率
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

设二次函数f(x)=ax2﹣4x+c(x∈R)的值域为[0,+∞),则的最小值为(  )

A3

B4

C5

D7

正确答案

A

解析

解:由题意知,a>0,△=1﹣4ac=0,∴ac=4,c>0,

则 则≥2×=3,当且仅当时取等号,

的最小值是 3。

故选A。

知识点

变化的快慢与变化率
1
题型:简答题
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简答题 · 16 分

设数列{an}满足an+1=2an+n2﹣4n+1。

(1)若a1=3,求证:存在f(n)=an2+bn+c(a,b,c为常数),使数列{an+f(n)}是等比数列,并求出数列{an}的通项公式;

(2)若an是一个等差数列{bn}的前n项和,求首项a1的值与数列{bn}的通项公式。

正确答案

见解析。

解析

(1)∵数列{an}满足an+1=2an+n2﹣4n+1,

设an+1 +a(n+1)2+b(n+1)+c=2(an+an2+bn+c),即 an+1=2an+an2+(b﹣2a)n+c﹣a﹣b,

,即

∵a1+1﹣2=2,∴存在f(n)=n2﹣2n,使数列{an+f(n)}是等比数列,

∴an+n2﹣2n=2×2n﹣1

∴an=2n﹣n2+2n。

(2)若an是一个等差数列{bn}的前n项和,数列{an}满足an+1=2an+n2﹣4n+1,

即an+1+(n+1)2﹣2(n+1)=2(an+n2﹣2n),

∴(an+n2﹣2n)=(a1﹣1)•2n﹣1,an=﹣n2+2n+(a1﹣1)•2n﹣1

∴bn=

再根据{bn}是等差数列,∴a1=1,bn=﹣2n+3。

知识点

变化的快慢与变化率
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

已知=(1,2),=(0,1),=(k,﹣2),若(+2)⊥,则k=(  )

A2

B﹣2

C8

D﹣8

正确答案

C

解析

解:∵=(1,2),=(0,1),

=(1,4),

又因为

所以=k﹣8=0,

解得k=8,

故选C

知识点

变化的快慢与变化率
下一知识点 : 导数的几何意义
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