热门试卷

（1）证明：(I) 因为是正三角形，是中点，

所以,即………………1分

又因为，平面，………………2分

又，所以平面………………4分

又平面，所以………………5分

（2）在正三角形中，………………6分

在，因为为中点，，所以

，所以，，所以………………8分

所以，所以………………9分

又平面，平面，所 以平面………………11分

（3）假设直线，因为平面，平面，所以平面……12分

又平面，平面平面，所以……………13分

这与与不平行，矛盾所以直线与直线不平行………………14分

（1）∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD, AC⊥CD , AC⊂平面ABCD ,

∴AC⊥平面PCD,   ...........................4分

∵PD⊂平面PCD ,

∴AC⊥PD.   .................................6分

（2）线段PA上,存在点E，使BE∥平面PCD,  ......7分

∵AD=3，

∴在△PAD中，存在EF//AD（E,F分别在AP,PD上），且使EF=1,

又∵ BC∥AD，∴BC∥EF，且BC=EF,

∴四边形BCFE是平行四边形,    ...............................9分

∴BE//CF, ，

∴BE∥平面PCD,    .......................................11分

∵EF =1，AD=3，

∴.  .......................................13分

解法一：

（1）取BC中点O，连结AO交BD于点E，连结PO

∵PB = PC，∴PO⊥BC

又∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD = BC

∴PO⊥平面ABCD

在直角梯形ABCD中

∵AB = BC = 2CD，易知Rt△ABO≌Rt△BCD

∴∠BEO =∠OAB +∠DBA =∠DBC +∠DBA = 90°

即AO⊥BD，由三垂线定理知PA⊥BD。

（2）连结PE，由PO⊥平面ABCD，AO⊥BD

得PE⊥BD

∴∠PEO为二面角P – BD – C的平面角

设AB = BC = PB = PC = 2CD = 2a

则PO =a，OE =

在Rt△PEO中，tan∠PEO =

∴二面角P – BD– C的大小为arctan

（3）取PB的中点为N，连结CN，则CN⊥PB

又∵AB⊥BC，BC是PB在面ABCD内的射影

∴AB⊥PB，又PB∩BC = B

∴AB⊥面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC

∵CN⊥PB，面PAB∩面PBC = PB

∴CN⊥平面PAB

取PA的中点为M，连结DM、MN

则MN∥AB∥CD，∵MN =AB = CD

∴四边形MNCD为平行四边形

∴CN∥DM，∴DM⊥平面PAB

∴平面PAD⊥平面PAB。

解法二：

（1）取BC中点为O

∵侧面PBC⊥底面ABCD，△PBC为等边三角形

∴PO⊥底面ABCD，以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，直线OP为z轴，如图乙所示，建立空间直角坐标系。

不妨设CD = 1

则AB = BC = PB = PC = 2，PO =

∴A(1，– 2，0)，B (1，0，0)，D (– 1，– 1，0)，P (0，0，)

∴= (– 2，– 1，0)，= (1，– 2，–)

∵·= (– 2) × 1 + (– 1) × (– 2) + 0 × (–) = 0

∴⊥，∴PA⊥BD

（2）连结AO，设AO与BD相交于点E，连结PE

由· = 1 × (– 2) + (– 2) × (– 1) + 0 × 0 = 0

∴⊥，∴OA⊥BD

又∵EO为PE在平面ABCD内的射影，∴PE⊥BD

∴∠PEO为二面角P – BD – C的平面角

在Rt△BEO中，OE = OB · sin∠OBE =

∴在Rt△PEO中，tan∠PEO =

∴二面角P – BD – C的大小为arctan

（3）取PA的中点M，连结DM

则M，又∵

∴·=× 1 + 0 × (– 2) +

∴⊥，即DM⊥PA

又∵= (1，0，)

∴·=× 1 + 0 × 0 +

∴⊥，即DM⊥PB，∴DM⊥平面PAB

∴平面PAD⊥平面PAB。