- 对心碰撞和非对心碰撞、散射
- 共327题
如图所示的凹形场地，两端是半径为L的1/4圆弧面，中间是长为4L的粗糙水平面。质量为3m的滑块乙开始停在水平面的中点O处，质量为m的滑块甲从光滑圆弧面顶端A处无初速度滑下，进入水平面内并与乙发生碰撞，碰后以碰前一半的速度反弹。已知甲、乙与水平面的动摩擦因数分别为μ1、μ2，且μ1=2μ2，甲、乙的体积大小忽略不计。求：
（1）甲与乙碰撞前的速度；
（2）碰后瞬间乙的速度；
（3）甲、乙在O处发生碰撞后，刚好不再发生碰撞，则甲、乙停在距B点多远处。
正确答案
解：（1）设甲到达O处与乙碰撞前的速度为v甲，由动能定理：
得：
（2）设碰撞后甲、乙的速度分别为v甲′、v乙′，由动量守恒：
又：
得：
（3）由于μ1=2μ2，所以甲、乙在水平面上运动的加速度满足：a甲=2a乙设甲在水平地面上通过的路程为s1、乙在水平地面上通过的路程为s2，则有：
即：
由于甲、乙刚好不再发生第二次碰撞，所以甲、乙在同一地点停下。有以下两种情况：
第一种情况：甲返回时未到达B时就已经停下，此时有：s1＜2L
而乙停在甲所在位置时，乙通过的路程为：s2=2L+2L+s1=4L+s1
因为s1与s2不能满足①，因而这种情况不能发生
第二种情况：甲、乙分别通过B、C冲上圆弧面后，返回水平面后相向运动停在同一地点
所以有：s1+s2=8L ②
①②两式得：
即小车停在距B为：
如图，一光滑水平桌面AB与一半径为R的光滑半圆形轨道相切于C点，且两者固定不动。一长L为0.8 m的细绳，一端固定于O点，另一端系一个质量m1为0.2 kg的球。当球在竖直方向静止时，球对水平桌面的作用力刚好为零。现将球提起使细绳处于水平位置时无初速释放。当球m1摆至最低点时，恰与放在桌面上的质量m2为0.8kg的小铁球正碰，碰后m1小球以2 m/s 的速度弹回，m2将沿半圆形轨道运动，恰好能通过最高点D。g=10m/s2，求：
（1）m2在圆形轨道最低点C的速度为多大？
（2）光滑圆形轨道半径R应为多大？
正确答案
解：（1）设球m1摆至最低点时速度为v0，由小球（包括地球）机械能守恒
m1与m2碰撞，动量守恒，设m1、m2碰后的速度分别为v1、v2
选向右的方向为正方向，则
即0.2×4 =0.2×(-2 )+0.8×v2
解得v2=1.5 m/s
（2）m2在CD轨道上运动时，由机械能守恒有
由小球恰好通过最高点D点可知，重力提供向心力，即
由①②得v22=5gR
即1.52=50R
故R=0.045 m
如图所示，竖直固定的半圆弯管与上部的水平管和下部的水平地面均相切，管的半径为R，各表面均光滑。小球A、B由轻弹簧相连，质量均为2m，开始时A球靠在墙边，A、B处于静止状态。小球C的质量为m，现C以某一初速度v0由水平管进入弯管，然后与B正碰，碰后两者速度相同，但不粘连，最后C球恰能返回水平管道。求：
（1）C球的初速度v0；
（2）A球离开墙后弹簧的最大弹性势能（此时B球尚没有进入管）。
正确答案
解：（1）设小球C到达水平地面时的速度为v1，由机械能守恒定律得：
设C球与B球碰撞后的共同速度为v2，由动量守恒定律得：mv1=3mv2
碰撞后两球一起向左压缩弹簧，当弹簧再次恢复原长时，B、C分离，它们的速度大小仍是v2。已知C球沿弯管恰能返回水平管，则有到达水平管时的速度为零，由机械能守恒定律得：
解得：
解得：
解得：
（2）弹簧恢复原长后，A球离开墙壁，经过一段时间，A、B两球速度达到相同时，弹簧的弹性势能最大。设此时A、B的共同速度为v3，由动量守恒定律得：2mv2=4mv3
解得：
根据能量守恒，弹簧的最大弹性势能为：
如图所示，半径为R的
（1）小球A撞击轻质弹簧的过程中，弹簧的最大弹性势能为多少？
（2）要使小球A与小球B能发生二次碰撞，m1与m2应满足什么关系？
正确答案
解：（1）设A球到达圆弧底端时的速度为v0
根据机械能守恒定律有：
当A、B两球速度相同时，弹簧的弹性势能最大，设共同速度为v
根据动量守恒定律有：
根据机械能守恒定律有：
联立①②③解得：
（2）设A、B碰撞后的速度分别为v1和v2
根据动量守恒定律有：
根据机械能守恒定律有：
联立⑤⑥解得：
要使A、B两球能发生二次碰撞，必须满足
则有：
解得：
一质量为m的小滑块A沿斜坡由静止开始下滑，与一质量为km的静止在水平地面上的小滑块B发生正碰撞，如图所示。设碰撞是弹性的，且一切摩擦不计。为使二者能且只能发生两次碰撞，则k的值应满足什么条件？
正确答案
解：设A与B碰撞前A的速度为v0，碰后A与B的速度分别为v1与V1，由动量守恒及机械能守恒定律有
由此解得
为使A能回到坡上，要求v1<0，这导致k>1；为使A从坡上滑下后再能追上B，应有
对于第二次碰撞，令v2和V2分别表示碰后A和B的速度，同样由动量守恒及机械能守恒定律有：
由此解得
若v2>0，则一定不会发生第三次碰撞，若v2<0，且
故为使第三次碰撞不会发生，要求A第三次从坡上滑下后速度的大小不大于B速度的大小，即
由⑥⑦⑧式得
由 k2－10 k + 5 =0 可求得
⑨式的解为
⑩与⑤的交集即为所求：
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