热门试卷

(Ⅰ)解：设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，

l1，l2分别是抛物线C在点A，B处的切线，

∴直线l1的斜率为，直线l2的斜率为，

∵，

∴，得，   ①

∵A，B是抛物线C上的点，

∴，

∴直线l1的方程为，直线l2的方程为，

由，解得：，

∴点D的纵坐标为。

 (Ⅱ)证法一：∵F为抛物线C的焦点，

∴，

∴直线AF的斜率为，

直线BF的斜率为，

∵

，

∴，∴A，B，F三点共线。

证法二：∵F为抛物线C的焦点，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴A，B，F三点共线。

(Ⅲ)解：不存在，

证明如下：假设存在符合题意的圆，

设该圆的圆心为M，依题意，得MA⊥AD，MB⊥BD，且|MA|=|MB|，

由l1⊥l2，得AD⊥BD，

∴四边形MADB是正方形，∴|AD|=|BD|，

∵点D的坐标为（，-1），∴，即p=2，

把点代入直线l1，得，

解得：或，

∴点A的坐标为（4，4）或，

同理可求得点B的坐标为（4，4）或，

由于A，B是抛物线C上的不同两点，

不妨令，

∴，

，

∴|AD|≠|BD|，这与|AD|= |BD|矛盾，

∴经过A，B两点且与l1，l2都相切的圆不存在。

解：（1）由题意，知=（0，5），=（4，3），=（0，），

∴C点的坐标为（0，），D点的坐标为（2，）。

（2）直线AD的方程为7x+4y=20，

直线BC得方程为7x-16y=-20，

联立，得x=，y=2，

∴M的坐标为（，2）。

解：（1）由于

∴

解得

从而所求椭圆的方程是

∵

∴A，B，N三点共线

而点N的坐标为（-2，0）

设直线AB的方程为

其中k为直线AB的斜率，依条件知k＞0

由消去x得

即

根据条件可知

解得

设

根据韦达定理得，

又由得

∴

从而消去y2得

令

则

由于

所以

∴在区间上是减函数

从而

即

∴

解得

而

∴

因此直线AB的斜率的取值范围是；

（2）上半椭圆的方程为

且

求导可得

所以两条切线的斜率分别为，

切线PA的方程是

即

又

从而切线PA的方程为

同理可得切线PB的方程为

由

可解得点P的坐标满足

再由得

∴

又由（1）知

∴

因此点P在定直线上，并且点P的纵坐标的取值范围是。

解：（Ⅰ）y′=2x+1，

直线l1的方程为y=3x-3，

设直线l2过曲线y=x2+x-2上的点B（b，b2+b-2），

则l2的方程为y=(2b+1)x-b2-2，

因为l1⊥l2，则有2b+1=，

所以直线l2的方程为。

（Ⅱ）解方程组，得，

所以直线l1和l2的交点的坐标为，

l1、l2与x轴交点的坐标分别为（1，0）、，

所以所求三角形的面积。