两条直线的交点坐标
共196题

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两条直线的交点坐标
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题型：简答题

简答题

如图，以椭圆（a＞b＞0）的中心O为圆心，分别以a和b为半径作大圆和小圆。过椭圆右焦点F（c，0）（c＞b）作垂直于x轴的直线交大圆于第一象限内的点A。连结OA交小圆于点B，设直线BF是小圆的切线，

（1）证明c2=ab，并求直线BF与y轴的交点M的坐标；

（2）设直线BF交椭圆于P、Q两点，证明。

正确答案

（1）证明：由题设条件知，，故，

即，因此； ①

解：在中，，

于是，直线OA的斜率，

设直线BF的斜率为k，则，

这时，直线BF的方程为，

令x=0，则，

所以直线BF与y轴的交点为M（0，a）；

（2）证明：由（1），得直线BF的方程为y=kx+a，且，②

由已知，设，

则它们的坐标满足方程组， ③

由方程组③消去y，并整理得，④

由式①、②和④，，

由方程组③消去x，并整理得，⑤

由式②和⑤，；

综上，得到，

注意到，

得

。

题型：简答题

简答题

设椭圆的两个焦点是F1（-c，0），F2（c，0）（c>0），且椭圆上存在点P，使得直线PF1与直线PF2垂直。

（1）求实数m 的取值范围。

（2）设l是相应于焦点F2的准线，直线PF2与l相交于点Q，若，求直线PF2的方程。

正确答案

解：（1）∵直线PF1⊥直线PF2　

∴以O为圆心以c为半径的圆：x2+y2=c2与椭圆：有交点

即有解

又∵c2=a2-b2=m+1-1=m>0　

∴

∴。

（2）设P（x，y），直线PF2方程为：y=k（x-c）

∵直线l的方程为：

∴点Q的坐标为（）

∵

∴点P分有向线段所成比为

∵F2（，0），Q （）

∴P（）

∵点P在椭圆上　

∴

直线PF2的方程为：y=（x-）。

题型：简答题

简答题

如图，直线 l1：y=kx+1-k（k≠0，k≠±）与l2：相交于点P，直线l1与x轴交于点P1，过点P1作x轴的垂线交直线l2于点Q1，过点Q1作y轴的垂线交直线l1于点P2，过点P2作x轴的垂线交直线l2于点Q2，…，这样一直作下去，可得到一系列点P1、Q1、P2、Q2，…，点Pn（n=1，2，…）的横坐标构成数列{xn}。

（1）证明，n∈N*；

（2）求数列{xn}的通项公式；

（3）比较2|PPn|2与4k2|PP1|2+5的大小。

正确答案

解：（1）设点Pn的坐标是，

由已知条件得点Qn、Pn+1的坐标分别是：

由Pn+1在直线l1上，得

所以

即。

（2）由题设知

又由（1）知，

所以数列是首项为公比为的等比数列

从而

即。

（3）由得点P的坐标为（1，1）

所以

（i）当，即或时

>1+9=10

而此时

所以

故

（ii）当，即时，＜1+9=10

而此时

所以

故。

题型：简答题

简答题

椭圆有两顶点A（-1，0）、B（1，0），过其焦点F（0，1）的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q。

（1）当|CD|=时，求直线l的方程；

（2）当点P异于A、B两点时，求证：为定值。

正确答案

解：（1）由已知可得椭圆方程为，设l的方程为为l的斜率

则

∴l的方程为；

（2）证明：当直线l与x轴垂直时与题意不符

设直线l的方程为y=kx+1，（k≠0，k≠±1），C（x1，y1），D（x2，y2），

∴P点的坐标为（-，0）

由（1）知

且直线AC的方程为y=，且直线BD的方程为y=

将两直线联立，消去y得

∵-1＜x1，x2＜1，

∴ 与异号

∴与异号，与同号

∴，解得x=-k

故Q点坐标为（-k，y0）

==-1

∴为定值。

题型：简答题

简答题

求过两直线x-2y+3=0和x+y-3=0的交点，且满足下列条件的直线l的方程．

（Ⅰ）和直线x+3y-1=0垂直；

（Ⅱ）在x轴，y轴上的截距相等．

正确答案

由可得两直线的交点为（1，2）

（Ⅰ）∵直线l与直线x+3y-1=0垂直

∴直线l的斜率为3

则直线l的方程为3x-y-1=0

（Ⅱ）当直线l过原点时，直线l的方程为2x-y=0

当直线l不过原点时，令直线l的方程为+=1

∵直线l过（1，2），

∴a=3

则直线l的方程为x+y-3=0

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