两条直线的交点坐标
共196题

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两条直线的交点坐标
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题型：简答题

简答题

平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M经过F1(0，-c)，F2(0，c)，A(c，0)三点，其中c＞0，

(Ⅰ)求圆M的标准方程（用含c的式子表示）；

(Ⅱ)已知椭圆（其中a2-b2=c2）的左、右顶点分别为D，B，圆M与x轴的两个交点分别为A，C，且A点在B点右侧，C点在D点右侧，

①求椭圆离心率的取值范围；

②若A，B，M，O，C，D(O为坐标原点)依次均匀分布在x轴上，问直线MF1与直线DF2的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．

正确答案

解：(Ⅰ)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，

则由题设，得，解得，

⊙M的方程为，

⊙M的标准方程为。

(Ⅱ)①⊙M与x轴的两个交点，

又B（b，0），D（-b，0），

由题设，即，

所以，

解得，即，

所以椭圆离心率的取值范围是。

②由(Ⅰ)，得，

由题设，得，

∴，

∴直线MF1的方程为，①

直线DF2的方程为，②

由①②，得直线MF1与直线DF2的交点，

易知为定值，

∴直线MF1与直线DF2的交点Q在定直线上。

题型：简答题

简答题

在平面直角坐标系xOy中，已知⊙M经过点F1(0，-c)，F2(0，c)，A(c，0)三点，其中c＞0，

(1)求⊙M的标准方程(用含c的式子表示)；

(2)已知椭圆(其中a2-b2=c2)的左、右顶点分别为D、B，⊙M与x轴的两个交点分别为A、C，且A点在B点右侧，C点在D点右侧，

①求椭圆离心率的取值范围；

②若A、B、M、O、C、D(O为坐标原点)依次均匀分布在x轴上，问直线MF1与直线DF2的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．

正确答案

解：(1)设⊙M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，

则由题设，得，解得，

⊙M的方程为，

⊙M的标准方程为。

(2)①⊙M与x轴的两个交点，

又B(b，0)，D(-b，0)，

由题设，即，所以，

解得，即，

所以椭圆离心率的取值范围为。

②由(1)，得，由题设，得，

∴，

∴直线MF1的方程为，①

直线DF2的方程为，②

由①②，得直线MF1与直线DF2的交点，易知为定值，

∴直线MF1与直线DF2的交点Q在定直线上．

题型：简答题

简答题

在平面直角坐标系中，已知两个定点A(-3，0)和B(3，0)．动点M在x轴上的射影是H（H随M移动而移动），若对于每个动点M总存在相应的点P满足，且。

(Ⅰ)求动点M的轨迹C的方程；

(Ⅱ)设过定点D(2，0)的直线l（直线l与x轴不重合）交曲线C于O，R两点，求证：直线AQ与直线RB交点总在某直线l0上．

正确答案

解：(Ⅰ)设M（x，y），则，

，

由，得，

即轨迹C的方程为。

(Ⅱ)若直线l的斜率为k时，直线QR：y=k（x-2），

设，

联立，得，

即，

观察，得，

即，

直线AQ：，

直线RB：，

联立，

解得：，所以，l0：；

若l⊥x轴，不妨得，

则此时，直线AQ：，

直线RB：，

联立，解得：，

即交点也在直线l0：上。

题型：简答题

简答题

长为3的线段AB的两个端点A，B分别在x，y轴上移动，点P在直线AB上且满足，

（Ⅰ）求点P的轨迹的方程；

（Ⅱ）记点P轨迹为曲线C，过点Q（2，1）任作直线l交曲线C于M，N两点，过M作斜率为的直线l′交曲线C于另一点R。求证：直线NR与直线OQ的交点为定点（O为坐标原点），并求出该定点。

正确答案

解：（Ⅰ）设，

由，

又由，

即为点P的轨迹方程。

（Ⅱ）当l的斜率不存在时，直线l与曲线C相切，不合题意；

当l斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-2）+1，即y=kx+1-2k，

联立方程，

设，

则，

则MR的方程为，

与曲线C的方程联列得，

则，

所以，

直线NR的方程为，

令，

，

∴，

从而，

即直线NR与直线OQ交于定点。

题型：简答题

简答题

过点C（0，1）的椭圆（a＞b＞0）的离心率为，椭圆与x轴交于两点A（a，0）、A（-a，0），过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q。

（Ⅰ）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；

（Ⅱ）当点P异于点B时，求证：为定值。

正确答案

解：（Ⅰ）由已知得，解得

所以椭圆方程为

椭圆的右焦点为，此时直线的方程为代入椭圆方程得

解得，代入直线l的方程得

所以

故；

（Ⅱ）当直线l与x轴垂直时与题意不符

设直线l的方程为，代入椭圆方程得

解得，代入直线l的方程得

所以D点的坐标为

又直线AC的方程为，又直线BD的方程为，联立得

因此，又

所以

故为定值。

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