热门试卷

证明见解析

试题分析：（I）连接，由于是圆的直径，可得．作圆与圆 的内公切线交与点．利用切线的性质可得： ，再利用三角形的内角和定理可得，进而证明三点共线．

（II）由切线的性质可得，利用射影定理可得．再利用切割线定理可得，即可证明．

试题解析：（Ⅰ）连结PC，PA，PB，BO2，

是圆O1的直径            2分

连结O1O2必过点P

是两圆的外公切线，为切点

由于   

又因为  三点共线     5分

（温馨提示：本题还可以利用作出内公切线等方法证明出结论，请判卷老师酌情给分！）

（Ⅱ）CD切圆O2于点D              7分

在中，，又 

故                       10分

圆的圆心在轴上，所以设圆的方程为：．

设与圆交于、两点，则，过作于，则为弦的中点，如图：

在中，，，

所以　　①，

又圆与相切，则　　②，

将②代入①中得：．

解得：；又代入②中，得．

故圆的方程为．

（1）<1且b≠0.（2）x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0（3）C必过定点(－2，1)

(1)令x＝0，得抛物线与y轴的交点是(0，b)，令f(x)＝0，得x2＋2x＋b＝0，由题意b≠0且Δ>0，解得b<1且b≠0.

(2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b，令x＝0，得y2＋Ey＋b＝0，此方程有一个根为b，代入得E＝－b－1，所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.

(3)圆C必过定点(0，1)，(－2，1)．

证明：将(0，1)代入圆C的方程，得左边＝02＋12＋2×0－(b＋1)×1＋b＝0，右边＝0，所以圆C必过定点(0，1)；同理可证圆C必过定点(－2，1)．

设圆心为M（m，0），

由于圆与直线4x+3y-29=0相切，且半径为5，

∴=5．

∴|4m-29|=25．

∴m=1或m=．

故所求的圆的方程是（x-1）2+y2=25或（x-）2+y2=25．

（1）设C（x，0）（x＞0），则

∵圆C与直线y=x-2相切于点P，半径r=，

∴=，

∵x＞0，

∴x=4，

∴圆C的方程为（x-4）2+y2=2；

（2）过C且与直线y=x-2垂直的直线方程为y=-x+4，与直线y=x-2，

联立可得x=3，y=1，即P（3，1），

∴△POC的面积为•(4-0)•1=2．

（1）设椭圆C的方程为mx2+ny2=1，

把A（-2，0）、B（2，0）、C（1，）三点坐标代入解得，

故所求方程为.+y2=1．

（2）设点Q（x1，y1），T（x2，y2），设以Q为切点的椭圆的切线方程为y-y1=k（x-x1），

联立化简为关于（x-x1）的一元二次方程，

得（1+4k2）（x-x1）2+2（x1+4ky1）（x-x1）+x12+4y12-4=0，

①若y1≠0，因为直线与椭圆相切，所以△=4（x1+4ky1）2-4×（1+4k2）×0=0，k=-

所以切线方程为y-y1=-（x-x1）．即直线的方程为x1x+4y1y-4=0．

又P（t，t）（t＞）在直线PQ上，所以tx1+4ty1-4=0

即点Q（x1，y1）在直线tx+4ty-4=0上．同理，点T（x2，y2）也在直线tx+4ty-4=0上，

所以直线QT的方程为tx+4ty-4=0，

所以kQT=-（常数）．

②若y1=0，容易求得T（-，），Q（2，0）所以kQT=-（常数）

综上得，直线QT的斜率为常数-．

（1）(x－1)2＋(y－1)2＝4.（2）2

(1)设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2

(r>0)，根据题意得解得a＝b＝1，r＝2.

故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.

(2)由题知，四边形PA′MB′的面积为S＝S△PA′M＋S△PB′M＝|A′M||PA′|＋|B′M||PB′|.又|A′M|＝|B′M|＝2，|PA′|＝|PB′|，所以S＝2|PA′|，而|PA′|＝＝，即S＝2.因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，所以|PM|min＝＝3，所以四边形PA′MB′面积的最小值为S＝2＝2＝2

（1）因为点平分弧，所以弧等于弧，且，所，所以与相似，所以.又因为，所以，即.

（2）.

试题分析：（1）首先根据点平分弧可得，弧等于弧，且，再由等弧所对的圆周角相等即，得到与相似，进而得到对应边成比例，将已知代入其中即可得出结论；

（2）由角平分线的定义知，，再由内错角相等得出平行，进而求出，，在中，易求的长度.

试题解析：（1）因为点平分弧，所以弧等于弧，且，所以，所以与相似，所以.又因为，所以，即.

（2）因为是的角平分线，所以，所以平行，所以

，，所以，.

（1）l1的方程为y＝x－；l2的方程为y＝x－（2）①C的方程为x2＋y2－x＋7y－8＝0，②圆C过定点F(0，1)

(1)A，B，记f(x)＝，f′(x)＝，则l1的方程为y－＝(x－a)，即y＝x－；同理得l2的方程为y＝x－.

(2)由题意a≠b且a、b不为零，联立方程组可求得P，Q，R.

∴经过P、Q、R三点的圆C的方程为x＋(y－1)(y－ab)＝0，

当a＝4，b＝－2时，圆C的方程为x2＋y2－x＋7y－8＝0，

显然当a≠b且a、b不为零时，圆C过定点F(0，1)．