- 圆的方程
- 共2177题
如图,C是以AB为直径的半圆O上的一点,过C的直线交直线AB于E,交过A点的切线于D,BC∥OD.
(Ⅰ)求证:DE是圆O的切线;
(Ⅱ)如果AD=AB=2,求EB.
正确答案
(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).
试题分析:(Ⅰ)连接,
,根据直径所对的圆心角是直角可知,
,结合已知条件“
”得,
,所以
是
的中垂线,由中垂线的性质可得到,
,
,把角
转化为
,即可得到
,则结论可证;(Ⅱ)先根据两个对应角相等得到
,由相似三角形对应线段成比例求出线段
的值,进一步求出
的值,由平行线分线段成比例可得到
的值,从而解出
.
试题解析:(Ⅰ)连接,
,
是直径,则
.
由得,
,
则是
的中垂线,
所以,
,
所以,
则,即
是圆
的切线. 5分
(Ⅱ)因为,
所以,
,
则有,
所以,那么
,
所以,
所以,
所以,
解得. 10分
在平面直角坐标系中,已知圆
(
为参数)和直线
(
为参数),则圆C的普通方程为 ,直线
与圆C的位置关系是
正确答案
略
过点的直线l将圆
分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,求直线l的斜率。
正确答案
略
直线x+y-2
=0截圆
=4得的劣弧所对的圆心角为
正确答案
略
已知:如图所示,△ABC内接于⊙O,过点A的切线交BC,的延长线于点P,D为AB的中点,DP交AC于M.求证:=
.
正确答案
证明略
如图所示,过点B作BN∥CM,交PD的延长线于点N,
则∠N=∠AMD,∠NBD=∠DAM.
又AD=DB,∴△BND≌△AMD.∴BN=AM.
∵CM∥BN,∴=
.
∴=
.
由切割线定理,得PA2=PC·PB.
∴=
=
,故
=
.
已知圆的直径,
为圆上一点,
,垂足为
,且
,则
.
正确答案
或9
试题分析:由于为圆的直径,所以
,在直角三角形
中,
是斜边上的高,由射影定理得,
,即
,解得
或
.
(本小题满分10分)
选修4—1:几何证明选讲
如图,AB是⊙O的直径,C,F为⊙O上的点,CA是∠BAF的角平分线,过点C作
CD⊥AF交AF的延长线于D点,CM⊥AB,垂足为点M.
(1)求证:DC是⊙O的切线;
(2)求证:AM·MB=DF·DA.
正确答案
略
选修4—1:几何证明选讲
解:(I)连结OC,∴∠OAC=∠OCA,又∵CA是∠BAF的角平分线,
∴∠OAC=∠FAC,
∴∠FAC=∠ACO,∴OC∥AD.………………3分
∵CD⊥AF,
∴CD⊥OC,即DC是⊙O的切线.…………5分
(Ⅱ)连结BC,在Rt△ACB中,
CM⊥AB,∴CM2=AM·MB.
又∵DC是⊙O的切线,∴DC2=DF·DA.
易知△AMC≌△ADC,∴DC=CM,
∴AM·MB=DF·DA…………10分
(选修4—1,几何证明选讲)
如图,AB是半圆的直径,C是AB延长线上一点,CD切半圆于点D,CD=2,DEAB,垂足为E,且E是OB的中点,求BC的长。
正确答案
连结OD,则在
中,
所以
在中,
由,则
,所以
已知:如图所示,△ABC内接于⊙O,过点A的切线交BC,的延长线于点P,D为AB的中点,DP交AC于M.求证:=
.
正确答案
证明略
如图所示,过点B作BN∥CM,交PD的延长线于点N,
则∠N=∠AMD,∠NBD=∠DAM.
又AD=DB,∴△BND≌△AMD.∴BN=AM.
∵CM∥BN,∴=
.
∴=
.
由切割线定理,得PA2=PC·PB.
∴=
=
,故
=
.
已知:如图所示,在△ABC中,AB=AC,O是△ABC的外心,延长CA到P,再延长AB
到Q,使AP=BQ.求证:O,A,P,Q四点共圆.
正确答案
证明 连接OA,OC,OP,OQ.
∵O是△ABC的外心,∴OA=OC.
∴∠OCP=∠OAC.
由于等腰三角形的外心在顶角的平分线上,
∴∠OAC=∠OAQ,
从而∠OCP=∠OAQ,
在△OCP和△OAQ中,
由已知CA=AB,AP=BQ,
∴CP=AQ.又OC=OA,
∠OCP=∠OAQ,
∴△OCP≌△OAQ,
∴∠CPO=∠AQO,
∴O,A,P,Q四点共圆.
证明 连接OA,OC,OP,OQ.
∵O是△ABC的外心,∴OA=OC.
∴∠OCP=∠OAC.
由于等腰三角形的外心在顶角的平分线上,
∴∠OAC=∠OAQ,
从而∠OCP=∠OAQ,
在△OCP和△OAQ中,
由已知CA=AB,AP=BQ,
∴CP=AQ.又OC=OA,
∠OCP=∠OAQ,
∴△OCP≌△OAQ,
∴∠CPO=∠AQO,
∴O,A,P,Q四点共圆.
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