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题型:简答题
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简答题

如图,C是以AB为直径的半圆O上的一点,过C的直线交直线AB于E,交过A点的切线于D,BC∥OD.

(Ⅰ)求证:DE是圆O的切线;

(Ⅱ)如果AD=AB=2,求EB.

正确答案

(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).

试题分析:(Ⅰ)连接,根据直径所对的圆心角是直角可知,,结合已知条件“”得,,所以的中垂线,由中垂线的性质可得到,,把角转化为,即可得到,则结论可证;(Ⅱ)先根据两个对应角相等得到,由相似三角形对应线段成比例求出线段的值,进一步求出的值,由平行线分线段成比例可得到的值,从而解出.

试题解析:(Ⅰ)连接

是直径,则.

得,

的中垂线,

所以

所以

,即是圆的切线.                         5分

(Ⅱ)因为

所以

则有

所以,那么

所以

所以

所以

解得.                         10分

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题型:填空题
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填空题

在平面直角坐标系中,已知圆为参数)和直线为参数),则圆C的普通方程为       ,直线与圆C的位置关系是     

正确答案

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题型:简答题
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简答题

过点的直线l将圆分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,求直线l的斜率。

正确答案

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题型:填空题
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填空题

直线x+y-2=0截圆=4得的劣弧所对的圆心角为

正确答案

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题型:简答题
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简答题

已知:如图所示,△ABC内接于⊙O,过点A的切线交BC,的延长线于点P,D为AB的中点,DP交AC于M.求证:=.

正确答案

证明略

如图所示,过点B作BN∥CM,交PD的延长线于点N,

则∠N=∠AMD,∠NBD=∠DAM.

又AD=DB,∴△BND≌△AMD.∴BN=AM.

∵CM∥BN,∴=.

=.

由切割线定理,得PA2=PC·PB.

==,故=.

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题型:填空题
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填空题

已知圆的直径为圆上一点,,垂足为,且,则           .

正确答案

或9

试题分析:由于为圆的直径,所以,在直角三角形中,是斜边上的高,由射影定理得,,即,解得

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题型:简答题
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简答题

(本小题满分10分)

选修4—1:几何证明选讲

如图,AB是⊙O的直径,CF为⊙O上的点,CA是∠BAF的角平分线,过点C

CDAFAF的延长线于D点,CMAB,垂足为点M.

(1)求证:DC是⊙O的切线;

(2)求证:AM·MB=DF·DA.

正确答案

选修4—1:几何证明选讲

解:(I)连结OC,∴∠OAC=∠OCA,又∵CA是∠BAF的角平分线,

∴∠OAC=∠FAC

   ∴∠FAC=∠ACO,∴OCAD.………………3分

CDAF

CDOC,即DC是⊙O的切线.…………5分

(Ⅱ)连结BC,在Rt△ACB中,

CMAB,∴CM2=AM·MB.

   又∵DC是⊙O的切线,∴DC2=DF·DA.

易知△AMC≌△ADC,∴DC=CM

AM·MB=DF·DA…………10分

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题型:简答题
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简答题

(选修4—1,几何证明选讲)

如图,AB是半圆的直径,C是AB延长线上一点,CD切半圆于点D,CD=2,DEAB,垂足为E,且E是OB的中点,求BC的长。

正确答案

连结OD,则中,

所以

中,

,则,所以

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题型:简答题
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简答题

已知:如图所示,△ABC内接于⊙O,过点A的切线交BC,的延长线于点P,D为AB的中点,DP交AC于M.求证:=.

正确答案

证明略

如图所示,过点B作BN∥CM,交PD的延长线于点N,

则∠N=∠AMD,∠NBD=∠DAM.

又AD=DB,∴△BND≌△AMD.∴BN=AM.

∵CM∥BN,∴=.

=.

由切割线定理,得PA2=PC·PB.

==,故=.

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题型:简答题
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简答题

已知:如图所示,在△ABC中,AB=AC,O是△ABC的外心,延长CA到P,再延长AB

到Q,使AP=BQ.求证:O,A,P,Q四点共圆.

正确答案

证明 连接OA,OC,OP,OQ.

∵O是△ABC的外心,∴OA=OC.

∴∠OCP=∠OAC.

由于等腰三角形的外心在顶角的平分线上,

∴∠OAC=∠OAQ,

从而∠OCP=∠OAQ,

在△OCP和△OAQ中,

由已知CA=AB,AP=BQ,

∴CP=AQ.又OC=OA,

∠OCP=∠OAQ,

∴△OCP≌△OAQ,

∴∠CPO=∠AQO,

∴O,A,P,Q四点共圆.

证明 连接OA,OC,OP,OQ.

∵O是△ABC的外心,∴OA=OC.

∴∠OCP=∠OAC.

由于等腰三角形的外心在顶角的平分线上,

∴∠OAC=∠OAQ,

从而∠OCP=∠OAQ,

在△OCP和△OAQ中,

由已知CA=AB,AP=BQ,

∴CP=AQ.又OC=OA,

∠OCP=∠OAQ,

∴△OCP≌△OAQ,

∴∠CPO=∠AQO,

∴O,A,P,Q四点共圆.

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