三角函数的最值
共80题

· 三角函数的最值

三角函数的最值
共80题

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题型：填空题

填空题 · 5 分

14.在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是

正确答案

知识点

三角形中的几何计算三角函数的最值

题型：填空题

填空题 · 5 分

15.函数在区间上的小值是

正确答案

解析

，再根据求出的取值范围，由二次函数的性质求最小值。

考查方向

本题的考点是求三角函数的最值，考察用配方法求复合三角函数在闭区间上的最值，本题是三角函数求值里常见的一种题型，其特点是借助二次函数的图像求最值.

解题思路

本题属于简单题，

（1）利用同角三角函数的关系化成同一三角函数并配方

（2）利用二次函数的图像求最值

易错点

利用二次函数的图像求最值

知识点

三角函数中的恒等变换应用三角函数的最值

题型：简答题

简答题 · 14 分

（14分）（2015•上海）如图，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B地后原地等待．设t=t1时乙到达C地．

（1）求t1与f（t1）的值；

（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t1≤t≤1时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，1]上的最大值是否超过3？说明理由．

正确答案

解：（1）由题意可得t1==h，

设此时甲运动到点P，则AP=v甲t1=5×=千米，

∴f（t1）=PC=

==千米；

（2）当t1≤t≤时，乙在CB上的Q点，设甲在P点，

∴QB=AC+CB﹣8t=7﹣8t，PB=AB﹣AP=5﹣5t，

∴f（t1）=PC=

==千米；

（2）当t1≤t≤时，乙在CB上的Q点，设甲在P点，

∴QB=AC+CB﹣8t=7﹣8t，PB=AB﹣AP=5﹣5t，

∴f（t）=PQ=

=，

当＜t≤1时，乙在B点不动，设此时甲在点P，

∴f（t）=PB=AB﹣AP=5﹣5t

∴f（t）=

∴当＜t≤1时，f（t）∈[0，]，

故f（t）的最大值超过了3千米．

知识点

三角形中的几何计算三角函数的最值

题型：简答题

简答题 · 13 分

15．已知函数

（Ⅰ）求函数的最小正周期；

（Ⅱ）求函数在区间上的最大值与最小值的和

正确答案

（Ⅰ）

（Ⅱ）0

解析

（Ⅰ）因为

所以函数的最小正周期．

（Ⅱ）因为，所以，所以．

当时，函数取得最小值;

当时，函数取得最大值,

因为,

所以函数在区间上的最大值与最小值的和为

考查方向

本题主要考察了三角函数的图象与性质，属于中档题，是高考的热点，解决此类题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形公式；二是会用性质，熟悉单调性、周期性、对称性、和最值问题。

易错点

1、本题易在化简的过程汇总发生错误，导致最小正周期算错。

2、单调性分析不全面，导致题目无法进行。

知识点

三角函数的周期性及其求法三角函数中的恒等变换应用三角函数的最值

题型：简答题

简答题 · 12 分

17.设函数.

（1）求函数的最小正周期和最值；

（2）若，其中A是面积为的锐角的内角，且，求边和的长．

正确答案

（1），最大值为，最小值为；

（2），．

解析

试题分析：本题属于三角函数的图像与性质及正余弦定理的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关三角函数的知识，即可解决本题，解析如下：

试题解析：（1），

∴函数f(x)的最小正周期.

当时，函数f(x)的最大值为；

当时，函数f(x)的最大值为.

（2）因为，即，

∴，∵A是面积为的锐角△ABC的内角，∴.

∵，∴AC=3.

由余弦定理得：，

∴.

考查方向

本题考查了两角和与差的正弦、三角函数的图象与性质、余弦定理、三角形的面积公式等知识点。

解题思路

（1）先用两角和与差的正弦化简的解析式，然后利用三角函数的图象与性质分别求得最小正周期和最值；

（2）先根据解析式求得角，从而由面积公式求得的长，再由余弦定理求得的长．

易错点

知识点

三角函数的周期性及其求法三角函数中的恒等变换应用余弦定理三角函数的最值

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