- 空间点、直线、平面之间的位置关系
- 共3243题
（本
（Ⅰ）确定点G的位置；
（Ⅱ）求直线AC1与平面EFG所成角θ的大小．
正确答案
（Ⅰ）G即是AA1的中点
（Ⅱ）AC1与平面EFG所成角
（Ⅰ）以C为原点，分别以CB、CA、CC1
为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则F（1，0，0），E（1，1，0），A（0，2，0），
C1（0，0，2），
设G（0，2，h），则
（Ⅱ）设
则
所以
在三棱锥
正确答案
在三棱锥
（文科）异面直线a、b所成的角为60°，则过空间任意一点可作______条直线与a、b都成60°．
正确答案
先将异面直线a，b平移到点P，则∠BPE=60°，∠EPD=120°
而∠BPE的角平分线与a和b的所成角为30°，
而∠EPD的角平分线与a和b的所成角为60°
∵60°＞30°，
∴直线与a，b所成的角相等且等于60°有且只有3条，
使直线在面BPE的射影为∠BPE的角平分线，
和直线为∠EPD的角平分线，
故答案为：3．
（15分）在三棱锥P－ABC中，
（1）求证：平面
（2）求BC与平面PAB所成角的正弦值；
（3）在棱BC上是否存在点Q使得AQ与PC成
正确答案
（1）见解析（2）
(1)证明：由题意得：
(2)解：法一、由（1）得
法二、建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.
（3）法一、设
又
【考点定位】本题考查空间面面垂直、直线与直线所成的角及异面直线所成的角，考查空间向量的运算，意在考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力及运算能力.
正三角形
正确答案
600
试题分析：如下图所示，依题意知，
（1）证明：
（2）当
（3）试问E点在何处时，平面
正确答案
(2) 
以
（1）
（2）因为
所以
（3）设平面
由
∴
易知平面
依题意
∴
如图∠BAC=90°，等腰直角三角形ABC所在的平面与正方形ABDE所在的平面互相垂直，则异面直线AD与BC所成角的大小是_______．
正确答案
以A为坐标原点，以AE，AB，AC分别为x，y，z轴正方向建立空间坐标系，
∵∠BAC=90°，三角形ABC为等腰直角三角形，四边形ABDE为正方形
令AE=AB=AC=1
则D（1，1，0），B（0，1，0），C（0，0，1）
∴
设异面直线AD与BC所成角为θ
则cosθ=
故θ=60°
故答案为：60°
四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD且PA = 4，则PC与底面ABCD所成角的正切值为 ．
正确答案
试题分析：因为
如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为______．
正确答案
解．如图，连接BC1，A1C1，
∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角，
设AB=a，AA1=2a，∴A1B=C1B=
根据余弦定理可知∠A1BC1的余弦值为 
故答案为：
（本小题满分12分）
正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=2，E，F分别是D1B，AD的中点，
（1）建立适当的坐标系，求出E点的坐标；
（2）证明：EF是异面直线D1B与AD的公垂线；
（3）求二面角D1—BF—C的余弦值.
正确答案
（1）E点坐标为（1，1，1）. （2）见解析；（3）二面角D1—BF—C的余弦值为
(1)以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则易确定A、B、C的坐标分别为A（2，0，0）、B（2，2，0）、C（0，2，0）.设D1（0，0，2m）（m>0），则E（1, 1, m）.
(2)利用向量垂直的坐标运算证明
(3)利用向量法求二面角，首先求出两个面的法向量，再根据法向量的夹角与二面角相等或互补来求二面角的大小.
（1）以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A、B、C的坐标分别为A（2，0，0）、B（2，2，0）、C（0，2，0）.
设D1（0，0，2m）（m>0），则E（1, 1, m）.
故E点坐标为（1，1，1）. …………………4分
（2）由（I）可知，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1是棱长为2的正方体.
又∵FD=1， ∴F（1，0，0），
故EF是AD与D1B的公垂线. …………………8分
（3）设n⊥平面FD1B，n=（x，y，z）
取n0=（2，－1，1）， …………………10分
则n0与
∴二面角D1—BF—C的余弦值为
解法二：（Ⅲ）延长CD交BF延长线于P，作DN⊥BP于N，连ND1，
∵DD1⊥平面ABCD， ∴ND1⊥BP，
∴∠DND1就 是二面角D1—FD—C的平面角. ……10分
在Rt△DFP中，DP=2，FD=1，FP=
∴二面角D1—BF—C的余弦值为
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