- 空间点、直线、平面之间的位置关系
- 共3243题
对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边中点分别为M、N、P、Q，则四边形MNPQ是______．
正确答案
矩形
解析
解：如图所示．
∵点M、N、P、Q分别是四条边的中点，
∴
∴四边形MNPQ是平行四边形．
又∵BD∥MQ，AC⊥BD，
∴MN⊥MQ，
∴平行四边形MNPQ是矩形．
故答案为：矩形．
给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直干同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中真命题是______（写出所有真命题的序号）
正确答案
解：对于①，若一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，故①错
对于②，若一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直是两个平面垂直的判断定理，故②对
对于③，垂直干同一直线的两条直线相互平行、相交或异面，故③错．
对于④，若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直．故④对
故答案为：②④．
解析
解：对于①，若一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，故①错
对于②，若一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直是两个平面垂直的判断定理，故②对
对于③，垂直干同一直线的两条直线相互平行、相交或异面，故③错．
对于④，若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直．故④对
故答案为：②④．
在空间中，给出下面四个命题：
（1）过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；
（2）若平面外两点到平面的距离相等，则过两点的直线必平行于该平面；
（3）两条相交直线在同一平面的射影必为相交直线；
（4）两个相互垂直的平面，一个平面内的任意一直线必垂直于另一平面内的无数条直线．
其中正确的命题的序号是______．
正确答案
（1）（4）
解析
解：假设过一点有至少两个平面α，β与已知直线垂直，则α∥β，这与假设矛盾，故假设不成立，（1）正确
若这两点分布在平面两侧，则过两点的直线与该平面相交，故（2）错误
若平面α⊥平面β，则平面α内的相交直线在平面β的射影不是相交直线，故（3）错误
若平面α⊥平面β，交线为l，平面β内垂直于l的直线有无数条，这些直线都垂直于平面α，即在平面α内的任意一直线必垂直于平面β内的无数条直线，故（4）正确
故答案为 （1）（4）
给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行；
②若两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行；
③若两个平面互相垂直，则在其中一个平面内的直线垂直另外一个平面；
④若两个平面互相平行，则在其中一个平面内的直线平行另外一个平面．
其中为真命题的是（ ）
正确答案
解析
解：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行，故①是假命题；
若两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行，故②是真命题；
若两个平面互相垂直，则在其中一个平面内的直线与另外一个平面相交或平行，故③是假命题；
若两个平面互相平行，则在其中一个平面内的直线平行另外一个平面，故④是真命题．
故选D．
定点P不在△ABC所在平面内，过P作平面α，使△ABC的三个顶点到α的距离相等，这样的平面共有______个．
正确答案
4
解析
解：如图所示：
①过点P作平面α∥平面ABC．则△ABC的三个顶点到α的距离相等；
②分别取线段AB、BC、CA的中点，则三个平面PFD、PDE、PEF皆满足题意．
综上可知：满足题意的平面α共有4个．
故答案为4．
设a，b，c表示三条直线，α，β表两个平面，则下列命题中不成立的是（ ）
正确答案
解析
解：选项A：b⊂β，若β⊥α则b⊥α．不正确，因为根据平面垂直的性质定理，如果两个平面垂直，其中一个平面内的直线只有垂直于交线的才垂直另一个平面；
选项B：b⊂α，c⊄α，若b∥c，则c∥α，根据线面平行的判定定理，可知成立；
C选项：c⊥α，若α∥β，则c⊥β，根据面面平行的性质定理，可知成立；
选项D：b⊂β，c是a在β内的射影，若b⊥a，则b⊥c，据线面垂直的性质定理可知正确．
故选A．
以下四个命题中，正确命题的个数是（ ）
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；
③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
正确答案
解析
解：①正确，可以用反证法证明，假设任意三点共线，则四个点必共面，与不共面的四点矛盾；
②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；
③不正确，共面不具有传递性，若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c可能异面
④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上，空间四边形的四个定点就不共面．
故选：B
直线a、b、c两两平行，但不共面，经过其中两条直线的平面共有（ ）
正确答案
解析
解：由于过两平行的直线有且只有一个平面
则经过其中两条直线的平面有3个．
故答案为 C
下列四个命题：
①空间四点共面，则其中必有三点共线；
②空间四点中有三点共线，则此四点必共面；
③空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面；
④空间四点不共面，则任意三点不共线．
其中正确命题的序号是______．
正确答案
②④
解析
解：对于①，空间四点共面，如平面四边形，其中任何三点不共线；顾①错误；
对于②，空间四点中有三点共线，根据不共线的三点确定一个平面，得到此四点必共面；故②正确；
对于③，空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面，如平面四边形；故③错误；
对于④，空间四点不共面，如果任意三点有共线的，那么此四个点就共面，与已知矛盾．故④正确；
故答案为：②④
空间三条直线中的一条直线与其他两条都相交，那么由这三条直线最多可确定平面的个数是______个．
正确答案
3
解析
故答案为：3
扫码查看完整答案与解析