空间点、直线、平面之间的位置关系
共3243题

空间点、直线、平面之间的位置关系
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题型：填空题

填空题

定义侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中（如图），当底面四边形ABCD满足条件______时，有BD1⊥A1C1．

（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）

正确答案

BD⊥AC

解析

解：∵四棱柱A1B1C1D1-ABCD是直棱柱，

∴B1D1⊥A1A，若A1C⊥B1D1，

则B1D1⊥平面A1AC1C，

∴B1D1⊥AC，

又由B1D1∥BD，

则有BD⊥AC，

反之，由BD⊥AC亦可得到A1C⊥B1D1，

故答案为：BD⊥AC．

题型：简答题

简答题

三棱锥P-ABC中，PC=x，其余棱长均为1．

（1）求证：PC⊥AB；

（2）求三棱锥P-ABC的体积的最大值．

正确答案

解：（1）取AB中点M，

∵△PAB与△CAB均为正三角形，

∴AB⊥PM，AB⊥CM，

∴AB⊥平面PCM，

∴AB⊥PC．

（2）当PM⊥平面ABC时，

三棱锥的高为PM，

此时．

解析

解：（1）取AB中点M，

∵△PAB与△CAB均为正三角形，

∴AB⊥PM，AB⊥CM，

∴AB⊥平面PCM，

∴AB⊥PC．

（2）当PM⊥平面ABC时，

三棱锥的高为PM，

此时．

题型：单选题

单选题

已知空间两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，则下列命题中正确的是（　　）

A若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n

B若m∥α，n⊥β，α⊥β，则m∥n

C若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n

D若m⊥α，n⊥β，α⊥β则m⊥n

正确答案

解析

解：若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n或m，n异面，故A不正确；

若m∥α，n⊥β，α⊥β，则m，n可能平行，可能相交，也可能异面，故B不正确；

若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m，n可能平行，可能相交，也可能异面，故C不正确；

若m⊥α，α⊥β则m⊂β或m∥β，由n⊥β可得m⊥n，故D正确

故选D

题型：单选题

单选题

下列四个结论：

（1）两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；

（2）两条直线没有公共点，则这两条直线平行；

（3）两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；

（4）一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．

其中正确的个数为（　　）

正确答案

解析

解：：（1）两条直线都和同一个平面平行，那么这两条直线可能平行、相交、异面．故（1）不正确．

（2）两条直线没有公共点，那么这两条直线可能平行、异面．故（2）不正确．

（3）两条直线都和第三条直线垂，则这两条直线可能平行、相交、异面．故（3）不正确．

（4）一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面可能平行、可能相交、可能在平面内．

故选A

题型：单选题

单选题

设m，n是两条不同的直线，α，β，λ是三个不同的平面，下列命题正确的是（　　）

A若m∥n，m∥α，则n∥α

B若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

C若m∥α，n∥α，则m∥n

D若m⊥α，n∥α，则m⊥n

正确答案

解析

解：根据题意，分析选项可得：

A、平行于同一条直线的直线和平面，不一定平行，它们也可能是直线就在此平面内，故错；

B、垂直于同一个平面的两个平面相交或平行，即α与β可能相交，错误；

C、平行于同一个平面的两条直线，不一定平行，它们也可能是相交或异面，故错；

D、若m⊥α，n∥α，则m⊥n．符合线面垂直的性质，正确；

故选D．

题型：简答题

简答题

在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是面对角线B1D1、A1B上的点，且D1E=2EB1，BF=2FA1．求证．EF∥AD1．

正确答案

证明：取A1B1中点M，连结AM、MC1，

设MC1与B1D1相交于点E‘．

∵M是A1B1中点，∴D1E′=2 E′D1，

又∵D1E=2EB1，∴E′与E重合，

∴M、E、C1共线，且C1E=2EM．

同理，M、F、A三点共线，且AF=2FM，

∴EF∥AC1，

解析

证明：取A1B1中点M，连结AM、MC1，

设MC1与B1D1相交于点E‘．

∵M是A1B1中点，∴D1E′=2 E′D1，

又∵D1E=2EB1，∴E′与E重合，

∴M、E、C1共线，且C1E=2EM．

同理，M、F、A三点共线，且AF=2FM，

∴EF∥AC1，

题型：填空题

填空题

如图，多面体OABCD，AB=CD=2，AD=BC=2，AC=BD=，且OA，OB，OC两两垂直，给出下列 5个结论：

①三棱锥O-ABC的体积是定值；

②球面经过点A、B、C、D四点的球的直径是；

③直线OB∥平面ACD；

④直线AD与OB所成角是60°；

⑤二面角A-OC-D等于30°．

其中正确的结论是______．

正确答案

①②④

解析

解：由题意，构造长方体，如右图，设OA=x，OB=y，OC=z，

则x2+y2=4，x2+z2=10，y2+z2=12，解得，x=1，y=，z=3，

对于①，三棱锥O-ABC的体积为OC×OA×OB=，故①对；

对于②，球面经过点A、B、C、D两点的球的直径即为长方体的对角线长，

即为，故②对；

对于③，由于OB∥AE，AE和平面ACD相交，则OB和平面ACD相交，故③错．

对于④，由于OB∥AE，则∠DAE即为直线AD与OB所成的角，

由tan∠DAE=，则∠DAE=60°，故④对；

⑤因为AO⊥OC，DC⊥OC，所以异面直线CD与OA所成的角大小为二面角A-OC-D的二面角大小，连接OE，则角AOE为所求，tan∠AOE=，所以∠AOE=60°；⑤错误；

故答案为：①②④

题型：单选题

单选题

已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的为（　　）

A若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

B若m∥α，m∥β，则α∥β

C若m∥α，n∥α，则m∥n

D若m⊥α，n⊥α，则m∥n

正确答案

解析

解：反例把书打开直立在桌面上，α与β相交或垂直；

答案B：α与β相交时候，m与交线平行；

答案C：直线m与n相交，异面，平行都有可能，以长方体为载体；

答案D：，正确

故选D．

题型：单选题

单选题

若A（-4，2），B（6，-4），C（12，6），D（2，12），则下面四个结论：

①AB∥CD；②AB⊥CD；③AC∥BD；④AC⊥BD．其中正确的序号依次为（　　）

A①③

B①④

C②③

D②④

正确答案

解析

解：=（6+4，-4-2）=（10，-6）；=（12+4，6-2）=（16，4）；

=（2-12，12-6）=（-10，6）；=（2-6，12+4）=（-4，16）

则：10×6-（-10）×（-6）=0，所以AB∥CD，①正确；

10×（-10）+6×（-6）=-136≠0，故②AB⊥CD错误；

16×16-（-4）×4=256+16=272≠0，故③AC∥BD错误；

16×（-4）+16×4=0，故AC⊥BD，

所以④正确，

故选B．

题型：简答题

简答题

已知：在空间四边形DABC中，DA⊥BC，DB⊥AC．用两种方法证明：DC⊥AB．

正确答案

证明：法一：=

故DC和AB互相垂直．

法二：证明：取AB中点E，连接DE、CE，∵BC=AC，E为AB中点，∴CE⊥AB，

同理DE⊥AB．

∵CE∩DE=E，

∴AB⊥平面CDE，

∴AB⊥CD．

解析

证明：法一：=

故DC和AB互相垂直．

法二：证明：取AB中点E，连接DE、CE，∵BC=AC，E为AB中点，∴CE⊥AB，

同理DE⊥AB．

∵CE∩DE=E，

∴AB⊥平面CDE，

∴AB⊥CD．

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