- 空间点、直线、平面之间的位置关系
- 共3243题
空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则BC与AD的位置关系是______；四边形EFGH是______形；当______时，四边形EFGH是菱形；当______时，四边形EFGH是矩形；当______时，四边形EFGH是正方形．
正确答案
异面直线
平行四边形
BD=AC
BD⊥AC
BD=AC且BD⊥AC
解析
解：假设BC，AD是共面直线，则A，B，C，D共面；所以四边形ABCD是平面四边形与已知矛盾故BC，AD是异面直线
∵E，F，分别是AB，BC的中点，∴EF∥BD；EF=
若EFGH是菱形则有EH=EF；所以BD=AC
若EFGH是矩形，则EH⊥EF；所以BDAC
若四边形是正方形则四边形是矩形且是菱形则
BD=AC，BD⊥AC
故答案为：异面直线；平行四边形；BD=AC；BD⊥AC；BD=AC且BD⊥AC
求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．
正确答案
已知：如图，α∩β=b，a∥α，a∥β．求证：a∥b．
证明：由a∥α得，经过a的平面与α相交于直线c，
则a∥c，
同理，设经过a的平面与β相交于直线d，
则a∥d，由平行公理得：c∥d，
则c∥β，又c⊂α，α∩β=b，所以c∥b，
又a∥c，所以a∥b．
解析
已知：如图，α∩β=b，a∥α，a∥β．求证：a∥b．
证明：由a∥α得，经过a的平面与α相交于直线c，
则a∥c，
同理，设经过a的平面与β相交于直线d，
则a∥d，由平行公理得：c∥d，
则c∥β，又c⊂α，α∩β=b，所以c∥b，
又a∥c，所以a∥b．
与两条异面直线同时相交的两条直线（ ）
正确答案
解析
解：如图（1）a、b是异面直线，c、d与a、b都相交，但是cd是相交直线，所以A不正确；
如图（2）c、d是异面直线，所以C不正确；
如果c、d 平行则c、d确定唯一平面，所以a、b都在这个平面内，与a、b是异面直线矛盾，所以B正确，D不正确．
故选：B．
（1）求证：D、E、F、G四点共面；
（2）求证：PC⊥AB；
（3）若△ABC和△PAB都是等腰直角三角形，且AB=2，PC=
正确答案
解：（1）依题意DG∥AB，EF∥AB，
∴DG∥EF，
∴DG、EF共面，从而D、E、F、G四点共面．
（2）取AB中点为O，连接PO、CO
∵PA=PB，CA=CB，∴PO⊥AB，CO⊥AB，
∵PO∩CO=O，∴AB⊥面POC
∵PC⊂面POC，∴AB⊥PC
（3）因为△ABC和PAB是等腰直角三角形，所以
∵
又PO⊥AB，且AB∩OC=O，
∴PO⊥面ABC
∴
解析
解：（1）依题意DG∥AB，EF∥AB，
∴DG∥EF，
∴DG、EF共面，从而D、E、F、G四点共面．
（2）取AB中点为O，连接PO、CO
∵PA=PB，CA=CB，∴PO⊥AB，CO⊥AB，
∵PO∩CO=O，∴AB⊥面POC
∵PC⊂面POC，∴AB⊥PC
（3）因为△ABC和PAB是等腰直角三角形，所以
∵
又PO⊥AB，且AB∩OC=O，
∴PO⊥面ABC
∴
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，E，F分别是棱AB，BC上的点，且AE=BF，若A1E与C1F所成的角最小，则有（ ）
AAE=BF=
BAE=BF=
CAE=BF=
DAE=BF=
正确答案
解析
解：如图示：
设|AE|=|BF|=x，x∈（0，a），∴
∴cos＜
另设分母中；f（x）=（x2+a2）[a2+（a-x）2]，
∴f′（x）=2[（2x3-ax2）-a（2x2-3ax+a2）]
=2（2x-a）（x2-ax+a），
又∵f″（x）=6（2x2-2ax+a2）＞0，
∴f′（x）是增函数，
∴只能有1个零点x=
∴f（x）在x=
∴AE=BF=
故选：D．
（2014秋•湖南校级月考）如果两条直线a∥b，且a∥面α，则b与α的位置关系是______．
正确答案
b∥α或b⊂α
解析
解：若a∥平面α，a⊂β，α∩β=b
则直线a∥b，故两直线a∥b，且a∥平面α，则可能b⊂α
若b⊄α，则由a∥平面α，
令a⊂β，α∩β=c
则直线a∥c，
结合a∥b，可得b∥c，由线面平行的判定定理可得b∥α
故两直线a∥b，且a∥平面α，则可能b∥α
故答案为：b∥α或b⊂α．
正方体ABCD-A1B1C1D1中，与棱AB异面的棱有（ ）
正确答案
解析
解：如图，
与棱AB异面的棱有：A1D1，B1C1，DD1，CC1；
∴共4条．
故选B．
设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，a⊂β，α∩β=b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是（ ）
正确答案
解析
解：∵a∥α，a⊂β，α∩β=b，
∴a∥b，
∴α内与b相交的直线与a的位置关系是异面．
故选：C．
下面4个命题：
①若直线a与b异面，b与c异面，则a与c异面
②若直线a与b相交，b与c相交，则a与c相交
③若直线a∥b，b∥c，则a∥b∥c
④若直线a∥b，则a，b与直线c所成的角相等．
其中真命题的个数是 （ ）
正确答案
解析
解：在①中：如图1所示：直线a与b异面，b与c异面，
但是直线a与c平行，所以①错误；
在②中：如图2所示：直线a与b相交，b与c相交，
但是直线a与c异面，所以②错误；
在③中：根据公理4可知：平行具有传递性，
即若直线a∥b，b∥c，则直线a∥b∥c，所以③正确；
在④中：不管是平面中的直线所成的角，还是异面直线所成角，
根据等角定理可知：若直线a∥b，
则a、b与c所成的角相等，即④正确．
故选：B．
设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．有下列四个命题：
①若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；
②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；
③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；
④若α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，则m⊥β．
其中错误命题的序号是（ ）
正确答案
解析
解：①若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m、n不想交，但可能平行也可能异面，故①不正确；
②∵m∥β，∴过m作平面与β相交，交线为n，则m∥n，∵m⊥α，∴n⊥α，∴根据面面垂直的判定，可得α⊥β，故②正确；
③∵n⊥α，m⊥α，∴m∥n，∵n⊥β，∴m⊥β，故③正确；
④α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，α∥β，则m⊥β，故④不正确．
综上，错误命题的序号是为①④，
故选A．
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