- 空间点、直线、平面之间的位置关系
- 共3243题
在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=a，又侧棱PA⊥底面ABCD．
（1）当a为何值时，BD⊥平面PAC？试证明你的结论．
（2）当a=4时，求证：BC边上存在一点M，使得PM⊥DM．
（3）若在BC边上至少存在一点M，使PM⊥DM，求a的取值范围．
正确答案
又∵PA⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴BD⊥PA．∴BD⊥平面PAC．
故当a=2时，BD⊥平面PAC．
（2）证明：当a=4时，取BC边的中点M，AD边的中点N，连接AM、DM、MN．
∵ABMN和DCMN都是正方形，
∴∠AMD=∠AMN+∠DMN=45°+45°=90°，即DM⊥AM．
又PA⊥底面ABCD，由三垂线定理得，PM⊥DM，故当a=4时，BC边的中点M使PM⊥DM．
（3）解：设M是BC边上符合题设的点M，
∵PA⊥底面ABCD，∴DM⊥AM．
因此，M点应是以AD为直径的圆和BC边的一个公共点，则AD≥2AB，即a≥4为所求．
解析
又∵PA⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴BD⊥PA．∴BD⊥平面PAC．
故当a=2时，BD⊥平面PAC．
（2）证明：当a=4时，取BC边的中点M，AD边的中点N，连接AM、DM、MN．
∵ABMN和DCMN都是正方形，
∴∠AMD=∠AMN+∠DMN=45°+45°=90°，即DM⊥AM．
又PA⊥底面ABCD，由三垂线定理得，PM⊥DM，故当a=4时，BC边的中点M使PM⊥DM．
（3）解：设M是BC边上符合题设的点M，
∵PA⊥底面ABCD，∴DM⊥AM．
因此，M点应是以AD为直径的圆和BC边的一个公共点，则AD≥2AB，即a≥4为所求．
①AD⊥MN；②MN∥平面CDE；
③MN∥CE；④MN、CE异面
以上4个命题中正确的是______．
正确答案
①②③
解析
解：（1）取AD的中点H，连接NH，MH则NH
又AD⊥DE，AD⊥CD所以AD⊥NH，AD⊥MH又NH∩MH=H 所以AD⊥面MHN 所以AD⊥MN 所以（1）正确
（2）由（1）知NH
（3）连接AC则AC过点M 在三角形ACE中M，N为中点所以MN∥CE 所以（3）正确，（4）错
故答案为：①②③
已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是锐角三角形，则存在过点A的平面（ ）
正确答案
解析
解：对于A，过点A与直线A1B1平行的平面经过B，与直线BC相交，不正确；
对于B，过点A与直线BC垂直的平面存在，则CB⊥AB，与底面是锐角三角形矛盾，不正确
对于C，过点A与直线BC平行且直线A1B1垂直，则CB⊥AB，与底面是锐角三角形矛盾，不正确；
对于D，存在过点A与BC中点的平面，与直线BC和直线AB所成角相等，∴与直线BC和直线A1B1所成角相等，正确．
故选：D．
以下四个命题：
①如果两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线
都垂直于另一个平面内无数条直线；②设m、n为两条不
同的直线，α、β是两个不同的平面，若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n，③“直线a⊥b”的充分而不必要条件是“a垂直于b在平面α内的射影”；④若点P到一个三角形三条边的距离相等，则点P在该三角形所在平面上的射影是该三角形的内心．其中正确的命题序号为 ______．
正确答案
①②
解析
解：对于①两个平面垂直，一个平面α内的任意直线l与另一个平面β只有两种：平行或相交，如果l∥β，
则在β内可以找到无数条与l异面垂直的直线；如果l与β相交（含垂直），根据三垂线定理，
在β内页能找到无数条直线与之垂直，故①正确；
对于②，由α∥β，m⊥α，可以得到m⊥β，由n∥β，
根据线面平行的性质定理，在β内一定存在一条与n平行的直线r，则m⊥r，故m⊥n，正确；
对于③，a垂直于b在平面α内的射影”应该是直线a⊥b”的充要条件，错误；
对于④，根据条件，作这些距离在三角形内的射影，则三个射影也相等，P的射影O到三边的距离相等，则O是三角形的内心，错误；
故答案为：①②
直线a和面α所成角为60°，b⊂α，则a，b所成角的范围是（ ）
正确答案
解析
解：根据最小角定理：直线与平面所成角是直线与平面内所有直线成角中最小的角，
则可得a，b所成角最小的角为60°，当a⊥b时，所成的角90°是所成角中最大的角，
故选：C．
正确答案
证明：因为几何体为正方体，
所以BB1∥平面ADD1A1，
又BB1⊂平面BB1E1E，平面BB1E1E∩平面ADD1A=EE1，
所以BB1∥EE1．
解析
证明：因为几何体为正方体，
所以BB1∥平面ADD1A1，
又BB1⊂平面BB1E1E，平面BB1E1E∩平面ADD1A=EE1，
所以BB1∥EE1．
①E为BB′的中点；
②直线A′E和直线FG是异面直线；
③直线FG∥平面A′CD；
④若AD⊥CD，则平面ABF⊥平面A′CD；
⑤几何体EBC-A′AD是棱台．
其中正确的结论是______．（将正确的结论的序号全填上）
正确答案
①③④⑤
解析
解：对于①，∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，
∴平面EBC∥平面A1D1DA，
∴平面A1CD与面EBC、平面A1D1DA的交线平行，∴EC∥A1D
∴△EBC∽△A1AD，
∴
∴E为BB1的中点；
故①正确；
对于②，因为E，F都是棱的中点，所以EF∥B‘C'，又B'C'∥A'D'，
所以EF∥A'D'，所以A'E，FG都在平面EFD'A'中；故②错误；
对于③，由②可得EF∥A'G，EF=A'G，所以四边形A'EFG是平行四边形，所以FG∥A'E，又A'E⊂平面A'CD中，FG⊄平面A'CD，所以直线FG∥平面A′CD正确；
对于④，连接AD'，容易得到BF∥AD'，所以ABFD'四点共面，因为AD⊥CD，AD'在底面的射影为AD，所以CD⊥AD'，又AD'⊥BF，所以BF⊥CD，又BF⊥CE，所以BF⊥平面A'CD，
BF⊂平面ABFD'，所以平面ABF⊥平面A′CD；故④正确；
对于⑤，由④得到，AB与D'F，DC交于一点，所以几何体EBC-A′AD是棱台．故⑤正确；
故答案为：①③④⑤．
已知不同平面α，β，γ，不同直线m，n，则下列命题正确的是（ ）
正确答案
解析
解：A．若α⊥β，α⊥γ，则β、γ平行或相交，比如墙角处的三个平面的位置关系，即为垂直，故A错；
B．若m∥α，n∥β，则α、β平行或相交，比如m，n都和α、β的交线平行，故B错；
C．若m⊥α，n⊥β，设α∩β=l，将m，n平移成m‘，n'且相交，设确定的平面为γ，且γ∩α=a，γ∩β=b，
则l⊥m'，l⊥n'，即l⊥γ，即l⊥a，l⊥b，由m⊥n，得m'⊥n'，从而a⊥b，由面面垂直的定义可得，α⊥β．故C正确；
D．若m∥γ，n∥γ，则m，n平行、相交或异面，故D错．
故选C．
已知矩形ABCD的边AB=a，BC=2，PA⊥平面ABCD，PA=2，现有以下五个数据：
当在BC边上存在点Q，使PQ⊥QD时，则a可以取______．（填上一个正确的数据序号即可）
正确答案
①或②
解析
因为PQ⊥QD，根据三垂线定理可得AQ⊥QD
在平面ABCD内，直径所对的圆周角为直角
所以Q点在以AD为直径的圆上，
故当BC与以AD为直径的圆有公共点时，在BC边上存在点Q，使PQ⊥QD
因此AB
故答案为：①或②
空间平行于同一条直线的两条直线一定（ ）
正确答案
解析
解：根据公理4：平行于同一条直线的两条直线平行，知这两条直线平行，
故选A．
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