- 空间点、直线、平面之间的位置关系
- 共3243题
（Ⅰ）证明：EF⊥BD1；
（Ⅱ）求四面体D1-BDE的体积．
正确答案
∴
∴EB=ED1．又F为BD1中点，
∴EF⊥BD1． …（4分）
（Ⅱ）解：由于
又因为
∴
故四面体D1-BDE的体积为
解析
∴
∴EB=ED1．又F为BD1中点，
∴EF⊥BD1． …（4分）
（Ⅱ）解：由于
又因为
∴
故四面体D1-BDE的体积为
设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
正确答案
解析
解：m∥α，n∥α，则m∥n，m，n相交或异面都有可能，故不正确；
两个平面平行，两个平面中的直线平行或异面，故不正确；
面面垂直，只有一个平面中垂直于交线的直线垂直于另一平面，故不正确；
利用面面垂直的判定定理，可知D正确．
故选：D．
正确答案
解析
解：三棱柱中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，
对于A，CC1与B1E在侧面BCC1B1，又不平行，故相交；A错误；
对于B，A1C1与平面ABB1A1斜交，夹角为60°，故B错误；
对于C，AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AE⊥B1C1；故C正确；
对于D，A1C1与平面A1EB有公共点A1，所以A1C1与平面A1EB相交；故D错误；
故选C．
（1）证明：BD⊥EF；
（2）P在棱AA1上，且AP=2，若EF∥平面PBD，求：CF；
（3）多面体AE-BCFB1的体积V是否为常数？若是，求这个常数，若不是，求V的取值范围．
正确答案
证明：（1）连接AC，∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∵ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱，∴AA1⊥平面ABCD，
∵BD⊂ABCD，∴AA1⊥BD（2分），
∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面AA1C1C，
∵EF⊂平面AA1C1C，∴BD⊥EF（4分）．
（2）连AC交BD与O，再取AA1中点Q，连QC，
∵EF∥平面PBD，平面PBD∩平面ACEF=PO，
∴EF∥PO；∵AQ=4，AP=2，
∴QC∥PO，∴EF∥QC
又∵AA1∥CC1
∴EFCQ为平行四边形，∴FC=EQ
∵AE+CF=8
∴CF=2（8分）
（3） 多面体AE-BCFB1是四棱锥B1-AEFC和三棱锥B1-ABC的组合体，
由题意，BB1=8，AB=2，BB1三棱锥B1-ABC的高，BO是四棱锥B1-AEFC的高，
∴
解析
证明：（1）连接AC，∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∵ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱，∴AA1⊥平面ABCD，
∵BD⊂ABCD，∴AA1⊥BD（2分），
∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面AA1C1C，
∵EF⊂平面AA1C1C，∴BD⊥EF（4分）．
（2）连AC交BD与O，再取AA1中点Q，连QC，
∵EF∥平面PBD，平面PBD∩平面ACEF=PO，
∴EF∥PO；∵AQ=4，AP=2，
∴QC∥PO，∴EF∥QC
又∵AA1∥CC1
∴EFCQ为平行四边形，∴FC=EQ
∵AE+CF=8
∴CF=2（8分）
（3） 多面体AE-BCFB1是四棱锥B1-AEFC和三棱锥B1-ABC的组合体，
由题意，BB1=8，AB=2，BB1三棱锥B1-ABC的高，BO是四棱锥B1-AEFC的高，
∴
空间中有三条直线a、b、c，若a⊥b，b⊥c，则直线a，c的位置关系是（ ）
正确答案
解析
解：如图，结合正方体模型对本题加以说明：
设直线b是正方体的下底面与向内侧面的交线，直线c是正方体左侧面与下底面的交线（如图），显然满足b⊥c，
①当直线a位于正方体左侧面与向内侧面的交线时，三条直线a、b、c交于同一点，此时直线a，c的位置关系是相交；
②当直线a位于正方体左侧面与上底面的交线时，直线a、c互相平行且都与直线b垂直；
③当直线a位于正方体右侧面与向内侧面的交线时，直线a、c是异面直线且都与直线b垂直．
综上所述，可得直线a，c的位置关系是相交、平行或异面都有可能．
故选D．
在锐二面角α-l-β中，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且a，b都与l斜交，则（ ）
正确答案
解析
解：根据题意，设锐二面角α-l-β的平面角为α，则a、b的夹角的取值范围为（α，180°），所以a可能与b垂直．假设a∥b，根据公理4，则a∥b∥l，这与a，b都与l斜交矛盾．故a与b不平行．
故选B．
直线a、b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面有多少个，试说明理由．
正确答案
解：有且只有一个；
取直线a上任一点A，则点A和直线b确定一个平面记为β，在β内过A点作直线c∥b，
由a∩c=A，则直线a、c确定唯一的平面记为α，
∵c∥b，c⊂α，b⊄α，∴b∥α有且仅有一个．
假设过直线a与直线b平行的平面有两个或者两个以上，那么与两条相交直线确定一个平面矛盾；
所以过直线a与直线b平行的平面有且只有一．个
解析
解：有且只有一个；
取直线a上任一点A，则点A和直线b确定一个平面记为β，在β内过A点作直线c∥b，
由a∩c=A，则直线a、c确定唯一的平面记为α，
∵c∥b，c⊂α，b⊄α，∴b∥α有且仅有一个．
假设过直线a与直线b平行的平面有两个或者两个以上，那么与两条相交直线确定一个平面矛盾；
所以过直线a与直线b平行的平面有且只有一．个
已知a，b是一对异面直线，且a，b成70°角．P为空间一定点，则在过P点的直线中与a，b所成角都为70°的直线有______条．
正确答案
4
解析
解：如图所示，
α∥β，a⊂α，b⊂β．
∀P∈β，过点P作a′∥a，则a′⊂β．
过点P可作PA满足与直线a′，b所成角都为70°的直线，其中PA在∠MPN的上方．
同理可以作出其它3条，PB，PC，PD（∵70°+70°＞110°）．
当点P不在其中一条直线上时，可以通过平移两条异面直线即可．
综上可得：在过P点的直线中与a，b所成角都为70°的直线有4条．
故答案为：4．
正确答案
解：EF和DH是异面直线．
∵DH⊂平面PCB，FE∩平面PCB=E，且E∉DH，H∈DH，且H∉FE
∴EF和DH是异面直线
解析
解：EF和DH是异面直线．
∵DH⊂平面PCB，FE∩平面PCB=E，且E∉DH，H∈DH，且H∉FE
∴EF和DH是异面直线
已知两条相交直线a，b及平面α，若a∥α，则b与α的位置关系是（ ）
正确答案
解析
解：∵a，b是两条相交直线，且a∥α，
∴b∥α，或b与α相交，
∴b在α外．
故选：D．
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