- 空间点、直线、平面之间的位置关系
- 共3243题
对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l______．
①平行②相交③垂直④互为异面直线．
正确答案
①若直线l⊂平面α，则平面α内的直线m与l，可能平行也可能相交（包括垂直）；
②若直线l∩平面α=A，则平面α内的直线m与l，可能异面也可能相交（包括垂直）；
③若直线l∥平面α，则平面α内的直线m与l，可能平行也可能异面（包括垂直）；
故①②④均错误，只有③正确
故答案为：③
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC1⊥A1C．有下列条件：
①AB=AC=BC；②AB⊥AC；③AB=AC．其中能成为BC1⊥AB1的充要条件的是（填上该条件的序号）______．
正确答案
若①AB=AC=BC，如图取M，N分别是B1C1，BC的中点，可得AM⊥BC，A1N⊥B1C1，由直三棱柱ABC-A1B1C1中，可得AM，A1N都垂直于侧面B1C1BC，
由此知AM，A1N都垂直于线BC1，又BC1⊥A1C．结合图形知BC1⊥CN
又由M，N是中点及直三棱柱的性质知B1M∥CN，故可得BC1⊥B1M，
再结合AM垂直于线BC1，及图形知BC1⊥面AMB1，
故有BC1⊥AB1，
故①能成为BC1⊥AB1的充要条件
同理③也可
对于条件②，其不能证得BC1⊥AB1，故不为BC1⊥AB1的充要条件
综上①③符合题意
故答案为①③
过直线外一点与这条直线平行的直线有______条．
过直线外一点与这条直线平行的平面有______ 个．
正确答案
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；
而过直线外一点，可作无数个平面与已知直线平行，
故答案为：1；无数
已知a、b、c是直线，α是平面，给出下列命题：
①若a∥b，b⊥c，则a⊥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
③若a∥α，b⊂α，则a∥b；④若a⊥α，b⊂α，则a⊥b；
⑤若a与b异面，则至多有一条直线与a、b都垂直．
其中真命题是______．（把符合条件的序号都填上）
正确答案
①作为结论应用，正确；②a、c可能异面，不正确；③a、b也可能异面，不正确；
④线面垂直的性质，正确．⑤不是至多而是有无数条直线与之垂直，不正确．
故答案为：①④
设b、c表示两条直线，α，β表示两个平面，则下列命题是真命题的是______．
①若b⊂α，c∥α，则b∥c ②若b⊂α，b∥c，则c∥α
③若c∥α，α⊥β，则c⊥β ④若c∥α，c⊥β，则α⊥β
正确答案
①中，没强调b为交线，则b，c亦可能异面；
②中，没强调c为平面外的直线，也可能是c⊂α；
③中，c与β的关系还可能是斜交、平行或c⊂β；
④中，由面面垂直的判定定理可知正确．
答案：④
如图，在四棱锥E-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BE=BC，AE⊥BE，M为CE上一点，且BM⊥平面ACE．
（1）求证：AE⊥BC；
（2）如果点N为线段AB的中点，求证：MN∥平面ADE．
正确答案
证明：（1）因为BM⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，
所以BM⊥AE．（2分）
因为AE⊥BE，且BE∩BM=B，BE、BM⊂平面EBC，
所以AE⊥平面EBC．（4分）
因为BC⊂平面EBC，
所以AE⊥BC．（6分）
（2）取DE中点H，连接MH、AH．
因为BM⊥平面ACE，EC⊂平面ACE，
所以BM⊥EC．
因为BE=BC，
所以M为CE的中点．（8分）
所以MH为△EDC的中位线．
所以MH∥
因为四边形ABCD为平行四边形，所以DC∥AB，且DC=AB．
故MH∥
因为N为AB中点，
所以MH∥AN，且MH=AN．
所以四边形ANMH为平行四边形，
所以MN∥AH．（12分）
因为MN⊄平面ADE，AH⊂平面ADE，
所以MN∥平面ADE．（14分）
若平面α外两直线a，b在α上的射影是两相交直线，则a与b的位置关系是______．
正确答案
如果两直线a，b相交，此时两条相交直线的投影可能为两相交直线，
如果两直线a，b异面，此时两条异面直线的投影可能为两相交直线，
如果两直线a，b平行，此时两条平行直线的投影不可能为两相交直线，此时两条平行直线的投影为两条平行直线或一条直线或两点．
故答案为：相交或异面．
已知m、n是直线，α、β、γ是平面，给出下列命题：
①若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β；
②若α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m∥n；
③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；
④若α∩β=m，n∥m；且n∉α，n∉β，则n∥α且n∥β．
其中正确的命题的序号是______．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
正确答案
①若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β；正确性无法判断，直线n在与交线m垂直的平面上，故位置关系不确定．
②若α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m∥n；正确，由面面平行的性质定理可证得．
③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；不正确，任意一条直线都可以在平面内有无数条与之垂直的直线．
④若α∩β=m，n∥m；且n∉α，n∉β，则n∥α且n∥β．正确，由线面平行的判定定理知线n与两平面都是平行的．
故应填②④．
空间三条直线a、b、c，若a⊥b，b⊥c，则a、c的位置关系是______．
正确答案
由题意，可利用正方体图形．
若a⊥b，b⊥c，则若a，b，c共面时，a∥b
若a，b，c不共面时，相交或异面皆有可能
故答案为：相交、平行、异面
已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线，m、n，有下列四个命题：
①若m∥n，m⊥α，则n⊥α
②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
③若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β；
④若m∥α，α∩β=n，则m∥n
其中不正确的命题的个数是______．
正确答案
由线面垂直的第二判定定理我们易得①正确；
由面面平行的判定方法，我们易得到②为真命题；
∵m⊥α，m∥n∴n⊥α，又由n⊂β，则α⊥β，即③也为真命题．
若m∥α，α∩β=n，则m与n可能平行也可相交，也可能异面，故④为假命题，
故答案为：1
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