- 空间点、直线、平面之间的位置关系
- 共3243题
设a，b为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：
（1）若a∥α且b∥α，则a∥b；
（2）若a⊥α且b⊥α，则a∥b；
（3）若a∥α且a∥β，则α∥β；
（4）若a⊥α且a⊥β，则α∥β．
上面命题中，所有真命题的序号是 ______．
正确答案
（1）若a∥α且b∥α，则a∥b或相交或异面，不正确；
（2）若a⊥α且b⊥α，则a∥b，由垂直同一平面的两直线平行知正确；
（3）若a∥α且a∥β，则α∥β或相交；
（4）若a⊥α且a⊥β，则α∥β，由垂直于同一直线的两平面平行．
故填（2）（4）．
设
①若m⊥n，m⊥
②若n
③若
④m是平面
正确答案
③
已知直线a和平面α，β，α∩β=l，a
正确答案
相交、平行或异面
已知ABCD﹣A1B1C1D1为单位正方体，黑白两只蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”，白蚂蚁爬行的路线是AA1→A1D1→…，黑蚂蚁爬行的路线是AB→BB1→…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线（其中i是自然数），设黑、白蚂蚁都走完2012段后各停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两只蚂蚁的距离是（ ）
正确答案
0
已知m、n是直线，α、β、γ是平面，给出下列命题：
①若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β；
②若α∥β，α∩β=m，β∩γ=n，则m∥n；
③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；
④若α∩β=m，n∥m；其中正确的命题的序号是( )
（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
正确答案
②④
如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点，
(Ⅰ)若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值；
(Ⅱ)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．
正确答案
(Ⅰ)解：如图，取CD的中点G，连接MG，NG，
设正方形ABCD，DCEF的边长为2，则MG⊥CD，MG=2，NG=
因为平面ABCD⊥平面DCEF，
所以MC⊥平面DCEF，
可得∠MNG是MN与平面DCEF所成的角，
因为MN=
所以sin∠MNG=
(Ⅱ)证明：假设直线ME与BN共面，则AB平面MBEN，
且平面MBEN与平面DCEF交于EN，
由已知，两正方形不共面，故AB
又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF，
而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，
所以AB∥EN，
又AB∥CD∥EF，
所以EN∥EF，
这与EN∩EF=E矛盾，故假设不成立．
所以ME与BN不共面，它们是异面直线．
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=a，D，E分别为棱AB，BC的中点，M为棱AA1上的点，二面角M-DE-A为30°。
（1）证明：A1B1⊥C1D；
（2）求MA的长，并求点C到平面MDE的距离。
正确答案
解：（1）证明：连结CD
∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱
∴
∴CD为C1D在平面ABC内的射影
∵△ABC中，AC=BC，D为AB中点
∴
∴
∵
∴
（2）过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连结MF
∵D、E分别为AB、BC的中点
∵
又
∴
∵AF为MF在平面ABC内的射影
∴
∴
在Rt△MAF中，
∴
作
∵
∴
∴平面MDE⊥平面AMF
∴AG⊥平面MDE
在Rt△GAF中，
∴
即A到平面MDE的距离为
∵
∴CA∥平面MDE
∴C到平面MDE的距离与A到平面MDE的距离相等，为
若直线a和b都与平面α平行，则a和b的位置关系是（ ）。
正确答案
相交或平行或异面
如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，∠ABD=60°，∠BDC=45°，PD垂直底面ABCD，PD=2
（1）求BD与平面ABP所成角θ的正弦值；
（2）证明：△EFG是直角三角形；
（3）当
正确答案
解：（1）在Rt△BAD中，
∴
而PD垂直底面ABCD，
在△PAB中，
即△PAB为以∠PAB为直角的直角三角形，
设点D到面PAB的距离为H，
由
即
（2）
而
∴
∴△EFG是直角三角形；
（3）
即
∴△EFG的面积
如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1，
（Ⅰ）求BF的长；
（Ⅱ）求点C到平面AEC1F的距离。
正确答案
解：（Ⅰ）过E作EH∥BC交CC1于H，
则CH=BE=1，EH∥AD，且EH=AD，
又∵AF∥EC1，
∴∠FAD=∠C1EH，
∴Rt△ADF≌Rt△EHC1，
∴DF=C1H=2，
∴
（Ⅱ）延长C1E与CB交于G，连AG，
则平面AEC1F与平面ABCD相交于AG，
过C作CM⊥AG，垂足为M，连C1M，
由三垂线定理可知AG⊥C1M，
由于AG⊥面C1MC，且AG
所以平面AEC1F⊥面C1MC，
在Rt△C1CM中，作CQ⊥MC1，垂足为Q，
则CQ的长即为C到平面AEC1F的距离，
由
从而
由
∴
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