- 空间点、直线、平面之间的位置关系
- 共3243题
自二面角内一点分别向两个面引垂线，它们所成的角与二面角的平面角（）
正确答案
如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD，则下列命题中：
①AC⊥PB；
②AB∥平面PCD；
③PA与平面PBD所成的角等于PC与平面PBD所成的角；
④异面直线AB与PC所成的角等于异面直线DC与PA所成的角．
正确的命题为______．
正确答案
对于①，因为PD⊥底面ABCD，得BD是PB在平面ABCD内的射影
又因为ABCD为正方形，所以BD⊥AC，可得AC⊥PB，故①是真命题；
对于②，因为AB∥CD，AB⊄平面PCD且CD⊂平面PCD，
所以AB∥平面PCD，故②是真命题；
对于③，因为AD、CD分别为PA、PC在平面ABCD内的射影
所以∠PAD、∠PCD分别是PA与平面PBD所成的角和PC与平面PBD所成的角．
又因为Rt△PAD≌Rt△PCD，所以∠PAD=∠PCD，可得③是真命题；
对于④，因为AB∥CD，可得∠PCD等于AB与PC所成的角，是一个锐角
而CD⊥平面PAD，可得CD⊥PA，即DC与PA所成的角为直角，
所以AB与PC所成的角不等于异面直线DC与PA所成的角，故④是假命题
故答案为：①②③
如图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的映射过程：区间（0，1）中的实数m对应数轴上的点M，如图1；将线段AB围成一个圆，使两端点A，B恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0，1），如图3．图3中直线AM与x轴交于点N（n，0），则m的像就是n，记作f（m）=n．则在下列说法中正确命题的个数为（ ）
①f（
正确答案
如图所示四面体ABCD中，AB、BC、BD两两互相垂直，且AB=BC=2，E是AC中点，异面直线AD与BE所成的角的大小为arccos
正确答案
以BC、BA、BD为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，…（2分）
由题意得A（0，2，0），C（2，0，0），E（1，1，0）
设D点的坐标为（0，0，z）（z＞0），
则
∴
∵AD与BE所成的角的大小为arccos
∴代入上式，解之得z=4，即BD的长度是4，…（10分）
因此，三棱锥D-ABC的体积
VD-ABC=
即四面体ABCD的体积是
在三棱锥S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=1，BC=
（1）求三棱锥S-ABC的体积；
（2）证明：BC⊥SC；
（3）求异面直线SB和AC所成角的余弦值．
正确答案
（1）∵∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，∴SA⊥面BAC，即SA即是棱锥的高，
又AC=1，BC=
∴AB=2，SA=2
∴三角形BAC的面积为
（2）由（1）知SA⊥面BAC可得SA⊥BC
又=∠ACB=90°，可得BC⊥AC，又SA∩AC=A
∴BC⊥面SCA
∴BC⊥SC
（3）分别取AB、SA、BC的中点D、E、F，连接ED、DF、EF、AF，由于ED∥SB，DF∥AC，故∠EDF（或其邻补角）就是异面直线SB和AC所成的角
由上证知DE=
在直角三角形EAF中可求得EF=
在三角形DEF中由余弦定理得∠EDF余弦的绝对值为
如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为线段DD1，BD的中点．
（1）求异面直线EF与BC所成的角；
（2）求三棱锥C-B1D1F的体积．
正确答案
（1）分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
∵在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为线段DD1，BD的中点，
∴E（0，0，1），F（1，1，0），B（2，2，0），C（0，2，0），
∴
设异面直线EF与BC所成的角为θ，
则cosθ=|cos＜
∴异面直线EF与BC所成的角为arccos
（2）∵在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为线段DD1，BD的中点，
∴S△B1D1C=
∵B1（2，2，2），D1（0，0，2），C（0，2，0），F（1，1，0），
∴
设平面D1B1C的法向量
∴
∴点F到平面D1B1C的距离d=
∴三棱锥C-B1D1F的体积V=
已知正方体ABCD-A，B1C1D1中．
（1）求异面直线ABCD与A1B1C1D1所成角的大小
（2）求证：BD⊥A1C；
（3）求三棱锥C1-A1BD的体积．
正确答案
（1）连接A1D，A1B，知四边形CDA1B1是平行四边形
∴A1D∥B1C，∴∠A1DB或其补角是异面直线BD与B1C所成的角（2分）
又∵A1D=A1B=BD=
∴异面直线BD与B1C所成的角是60°（4分）
（2）证明：由正方体知：⊥
⇒
⇒
⇒BD⊥AC1
（3）VA-ABD═
VC-ABD=VABCD-ABCD-4VA-ABD=a3-4×
在直三棱柱ABC-ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=1．
（1）求异面直线B1C1与AC所成的角的大小；
（2）若A1C与平面ABCS所成角为45°，求三棱锥A1-ABC的体积．
正确答案
（1）∵BC∥B1C1，
∴∠ACB为异面直线B1C1与AC所成角（或它的补角）
∵∠ABC=90°，AB=BC=1，
∴∠ACB=45°，
∴异面直线B1C1与AC所成角为45°．
（2）∵AA1⊥平面ABC，
∠ACA1是A1C与平面ABC所成的角，∠ACA=45°．
∵∠ABC=90°，AB=BC=1，AC=
∴AA1=
∴三棱锥A1-ABC的体积V=
四面体ABCD中，有如下命题：
①若AC⊥BD，AB⊥CD则AD⊥BC；
②若E、F、G分别是BC、AB、CD的中点，则∠FEG的大小等于异面直线AC与BD所成角的大小；
③若点O是四面体ABCD外接球的球心，则O在平面ABD上的射影是△ABD的外心；
④若四个面是全等的三角形，则四面体ABCD是正四面体．
其中正确命题的序号是______（填上所有正确命题的序号）．
正确答案
①若AC⊥BD，AB⊥CD则AD⊥BC
则连接各棱的中点后，我们易得到一个直三棱柱，
进而易得到AD⊥BC，故①正确；
②若E、F、G分别是BC、AB、CD的中点，
则∠FEG的大小等于异面直线AC与BD所成角或与异面直线AC与BD所成角互补，故②错误；
③若点O是四面体ABCD外接球的球心，
则点O到平面ABD三个顶点的距离相等，利用勾股定理易得
点O在平面ABD上的射影到ABD三个顶点的距离相等，即为△ABD的外心，故③正确；
④若四个面是全等的三角形，但不一定等边三角形，故四面体ABCD也不一定是正四面体，故④错误．
故答案为：①③
如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90°，E、F、G分别为AC，AA1，AB的中点．
①求证：B1C1∥平面EFG；
②求FG与AC1所成的角；
③求三棱锥B1--EFG的体积．
正确答案
①E，F为△AB，AC中点，∴GE∥BC．
∵B1C1∥BC，∴B1C1∥GE，
∵GE⊂平面GEF，B1C1⊄平面GEF，
∴B1C1∥平面EFG
②取A1C1的中点M，连接MF，GM，
根据中位线可知AC1∥MF
∴∠MFG为FG与AC1所成的角
∵MF=
∴∠MFG=90°
∴FG与AC1所成的角为90°．
③∵B1C1∥平面EFG，∴C1与B1到平面EFG的距离相等．
∴VB1-EFG=VC1-EFG=VG-C1EF
∵B1C1⊥A1C1，B1C1⊥C1C1，A1C1∩C1C=C1
∴B1C1⊥平面C1CA1
∵B1C∥GE∴GE⊥平面C1EF
∵GE=
∴VB1-EFG=
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