- 直线与圆锥曲线的综合问题
- 共2643题
已知对称中心为坐标原点的椭圆C1与抛物线C2:x2=4y有一个相同的焦点F1,直线l:y=2x+m与抛物线C2只有一个公共点.
(Ⅰ)求直线l的方程;
(Ⅱ)若椭圆C1经过直线l上的点P,当椭圆C1的长轴长取最小值时,求椭圆C1的方程及点P的坐标.
正确答案
解:(Ⅰ)由消去y,得x2-8x-4m=0.
∵直线l与抛物线C2只有一个公共点,
∴△=82+4×4m=0,解得m=-4.
∴直线l的方程为y=2x-4;
(Ⅱ)∵抛物线C2的焦点为:F1(0,1),
依题意知椭圆C1 的两个焦点坐标为F1(0,1),F2(0,-1),
如图,
设点F1关于直线l的对称点为,
则,解得.
∴点.
∴直线 的方程为y=-1.
直线l与直线 的交点坐标为.
由椭圆的定义及平面几何知识得:
椭圆C1的长轴长2a=.
其中当P与P0重合时上式取等号.
∴当a=2时,椭圆的长轴长取得最小值为4,
此时椭圆的方程为,点P的坐标为.
解析
解:(Ⅰ)由消去y,得x2-8x-4m=0.
∵直线l与抛物线C2只有一个公共点,
∴△=82+4×4m=0,解得m=-4.
∴直线l的方程为y=2x-4;
(Ⅱ)∵抛物线C2的焦点为:F1(0,1),
依题意知椭圆C1 的两个焦点坐标为F1(0,1),F2(0,-1),
如图,
设点F1关于直线l的对称点为,
则,解得.
∴点.
∴直线 的方程为y=-1.
直线l与直线 的交点坐标为.
由椭圆的定义及平面几何知识得:
椭圆C1的长轴长2a=.
其中当P与P0重合时上式取等号.
∴当a=2时,椭圆的长轴长取得最小值为4,
此时椭圆的方程为,点P的坐标为.
已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,椭圆C的上、下顶点分别为A1,A2,左、右顶点分别为B1,B2,左、右焦点分别为F1,F2.原点到直线A2B2的距离为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过原点且斜率为的直线l,与椭圆交于E,F点,试判断∠EF2F是锐角、直角还是钝角,并写出理由;
(3)P是椭圆上异于A1,A2的任一点,直线PA1,PA2,分别交x轴于点N,M,若直线OT与过点M,N的圆G相切,切点为T.证明:线段OT的长为定值,并求出该定值.
正确答案
解:(1)因为椭圆C的离心率e=,
故设a=2m,c=m,则b=m.
直线A2B2方程为 bx-ay-ab=0,
即mx-2my-2m2=0.
所以 =,解得m=1.
所以 a=2,b=1,椭圆方程为+y2=1.
(2)由+y2=1及y=得:
x=,则E(,),F(-,-),
又∵椭圆+y2=1的右焦点F2的坐标为(,0)
∴=(,),=(-,-),
∴•=()×(-)+×(-)=>0,
∴∠EF2F是锐角
(3)由(1)可知A1(0,1)A2(0,-1),设P(x0,y0),
直线PA1:y-1=x,令y=0,得xN=;
直线PA2:y+1=x,令y=0,得xM=;
解法一:设圆G的圆心为((-),h),
则r2=[(-)-]2+h2=(+)2+h2.
OG2=(-)2+h2.
OT2=OG2-r2=(-)2+h2-(+)2-h2=.
而+y02=1,所以x02=4(1-y02),所以OT2=4,
所以OT=2,即线段OT的长度为定值2.…(16分)
解法二:OM•ON=|(-)•|=,
而+y02=1,所以x02=4(1-y02),所以OM•ON=4.
由切割线定理得OT2=OM•ON=4.
所以OT=2,即线段OT的长度为定值2.…(16分)
解析
解:(1)因为椭圆C的离心率e=,
故设a=2m,c=m,则b=m.
直线A2B2方程为 bx-ay-ab=0,
即mx-2my-2m2=0.
所以 =,解得m=1.
所以 a=2,b=1,椭圆方程为+y2=1.
(2)由+y2=1及y=得:
x=,则E(,),F(-,-),
又∵椭圆+y2=1的右焦点F2的坐标为(,0)
∴=(,),=(-,-),
∴•=()×(-)+×(-)=>0,
∴∠EF2F是锐角
(3)由(1)可知A1(0,1)A2(0,-1),设P(x0,y0),
直线PA1:y-1=x,令y=0,得xN=;
直线PA2:y+1=x,令y=0,得xM=;
解法一:设圆G的圆心为((-),h),
则r2=[(-)-]2+h2=(+)2+h2.
OG2=(-)2+h2.
OT2=OG2-r2=(-)2+h2-(+)2-h2=.
而+y02=1,所以x02=4(1-y02),所以OT2=4,
所以OT=2,即线段OT的长度为定值2.…(16分)
解法二:OM•ON=|(-)•|=,
而+y02=1,所以x02=4(1-y02),所以OM•ON=4.
由切割线定理得OT2=OM•ON=4.
所以OT=2,即线段OT的长度为定值2.…(16分)
点P是椭圆+=1外的任意一点,过点P的直线PA、PB分别与椭圆相切于A、B两点.
(1)若点P的坐标为(1,2),求直线AB的方程.
(2)设椭圆的左焦点为F,请问:当点P运动时,∠PFA与∠PFB是否总是相等?若是,请给出证明.
正确答案
解:(1)设点A的坐标为(x1,y1),
当y≥0时,由+=1得,y=,
则过点A的切线斜率k=y′=,过点A的切线方程为:y-y1=,
又,则切线方程可整理为:,
当y<0时,同理可得切线方程为:,
综上,过点A的切线方程为:,
∵点P(1,2)在切线上,∴①,
设点B的坐标为(x2,y2),同理可得,②,
故由①②可得直线AB的方程为;
(2)当点P运动时,∠PFA与∠PFB总是相等的,
F(-1,0),设点P的坐标为(m,n),
则由(1)知,,∴,
∵|AF|=2+,=(x1+1,y1)•(m+1,n)
=(m+1)(x1+1)+ny1=(m+1)(x1+1)+3(1-)
=,
∴cos∠PFA==,
同理,cos,
∴cos∠PFA=cos∠PFB,
∴∠PFA=∠PFB.
解析
解:(1)设点A的坐标为(x1,y1),
当y≥0时,由+=1得,y=,
则过点A的切线斜率k=y′=,过点A的切线方程为:y-y1=,
又,则切线方程可整理为:,
当y<0时,同理可得切线方程为:,
综上,过点A的切线方程为:,
∵点P(1,2)在切线上,∴①,
设点B的坐标为(x2,y2),同理可得,②,
故由①②可得直线AB的方程为;
(2)当点P运动时,∠PFA与∠PFB总是相等的,
F(-1,0),设点P的坐标为(m,n),
则由(1)知,,∴,
∵|AF|=2+,=(x1+1,y1)•(m+1,n)
=(m+1)(x1+1)+ny1=(m+1)(x1+1)+3(1-)
=,
∴cos∠PFA==,
同理,cos,
∴cos∠PFA=cos∠PFB,
∴∠PFA=∠PFB.
如图,A,B是椭圆+=1(a>b>0))的两个顶点.|AB|=,直线AB的斜率为-.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线l平行于AB,与x,y轴分别交于点M,N,与椭圆相交于C,D.证明:△OCM的面积等于△0DN的面积.
正确答案
(Ⅰ)解:依题意,得 …(2分)
解得a=2,b=1. …(3分)
所以椭圆的方程为. …(4分)
(Ⅱ)证明:由于l∥AB,设直线l的方程为y=-,将其代入,消去y,
整理得2x2-4mx+4m2-4=0. …(6分)
设C(x1,y1),D(x2,y2).
所以x1+x2=2m,x1x2=2m2-2 …(8分)
记△OCM的面积是S1,△ODN的面积是S2.
由题意M(2m,0),N(0,m),
因为x1+x2=2m,
所以=|-x1+2m|=|x2|,…(13分)
∵.
∴S1=S2 …(14分)
解析
(Ⅰ)解:依题意,得 …(2分)
解得a=2,b=1. …(3分)
所以椭圆的方程为. …(4分)
(Ⅱ)证明:由于l∥AB,设直线l的方程为y=-,将其代入,消去y,
整理得2x2-4mx+4m2-4=0. …(6分)
设C(x1,y1),D(x2,y2).
所以x1+x2=2m,x1x2=2m2-2 …(8分)
记△OCM的面积是S1,△ODN的面积是S2.
由题意M(2m,0),N(0,m),
因为x1+x2=2m,
所以=|-x1+2m|=|x2|,…(13分)
∵.
∴S1=S2 …(14分)
椭圆C:+=1(a>b>0),点A是椭圆C的右顶点,点O为坐标原点,在一象限椭圆C上存在一点P,使AP⊥OP,则椭圆的离心率范围是______.
正确答案
(,1)
解析
解:如图所示,
∵AP⊥0P,∴点P在以AO为直径的圆上,
∵O(0,0),A(a,0),
∴以AO为直径的圆方程为+y2=,即x2+y2-ax=0,
由消去y,得(b2-a2)x2+a3x-a2b2=0.
设P(m,n),
∵P、A是椭圆+=1与x2+y2-ax=0两个不同的公共点,
∴m+a=,ma=,
∴m=.
∵由图形得0<m<a,∴0<<a,
即b2<a2-b2,可得a2-c2<c2,得a2<2c2
∴a<c,
∴椭圆离心率e=>,
又∵e∈(0,1),
∴椭圆的离心率e的取值范围为(,1).
故答案为:(,1).
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