直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

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直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：填空题

填空题

如图，已知直线L：的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，点A、B在直线G：x=a2上的射影依次为点D、E．

（1）若抛物线的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程；

（2）若为x轴上一点，求证：．

正确答案

解析

解：由题意，已知直线L：的右焦点F，故有c=1

（1）抛物线的焦点为（0，）故椭圆C的上顶点的坐标为（0，），可得b=，由椭圆的性质得a=2

故椭圆C的方程为

（2）设A（x1，y1）B（x2，y2）E（a2，y2）D（a2，y1）

令，即（a2+b2m2）y2+2mb2y+b2（1-a2）=0

△=4a2b2（a2+m2b2-1）＞0（a＞1）

∵=

∴kAN=KEN

∴A、N、E三点共线

∴故存在实数λ使得．

题型：单选题

单选题

中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C1的离心率为e，直线l与双曲线C1交于A，B两点，线段AB中点M在一象限且在抛物线y2=2px（p＞0）上，且M到抛物线焦点的距离为p，则l的斜率为（　　）

Be2-1

De2+1

正确答案

解析

解：∵M在抛物线y2=2px（p＞0）上，且M到抛物线焦点的距离为p，

∴M的横坐标为，∴M（，p）

设双曲线方程为（a＞0，b＞0），A（x1，y1），B（x2，y2），则

，

两式相减，并将线段AB中点M的坐标代入，可得

∴

故选A．

题型：填空题

填空题

已知F1，F2为双曲线的焦点，点A在双曲线上，点M坐标为，且△AF1F2的一条中线恰好在直线AM上，则线段AM长度为______．

正确答案

或3

解析

解：由题意，M在直线OA上，∵点M坐标为，∴直线OA的方程为y=x

代入双曲线，可得x2=12，∴x=±2，

当A（2，2）时，∵点M坐标为，∴线段AM长度为=；

当A（-2，-2）时，∵点M坐标为，∴线段AM长度为=3；

故答案为：或3

题型：简答题

简答题

已知点A（m，4）（m＞0）在抛物线x2=4y上，过点A作倾斜角互补的两条直线l1和l2，且l1，l2与抛物线另一个交点分别为B、C．

（I）求证：直线BC的斜率为定值；

（II）若抛物线上存在两点关于直线BC对称，求|BC|的取值范围．

正确答案

（I）证明：∵点A（m，4）（m＞0）在抛物线x2=4y上，∴m=4

设B（x1，y1），C（x2，y2），则kAB+kAC=+=0

∴x1+x2=-8

∴=-2

∴直线BC的斜率为定值-2；

（II）解：设直线BC的方程为y=-2x+b，P（x3，y3），Q（x4，y4）关于直线BC对称，

设PQ中点M（x0，y0），则==，

∴x0=1，故M（1，-2+b）

∵M在抛物线内部，

∴-2+b＞，解得b＞

y=-2x+b代入抛物线可得x2+8x-4b=0，

∴x3+x4=-8，x3x4=-4b

∴|BC|==＞10

∴|BC|的取值范围为（10，+∞）．

解析

（I）证明：∵点A（m，4）（m＞0）在抛物线x2=4y上，∴m=4

设B（x1，y1），C（x2，y2），则kAB+kAC=+=0

∴x1+x2=-8

∴=-2

∴直线BC的斜率为定值-2；

（II）解：设直线BC的方程为y=-2x+b，P（x3，y3），Q（x4，y4）关于直线BC对称，

设PQ中点M（x0，y0），则==，

∴x0=1，故M（1，-2+b）

∵M在抛物线内部，

∴-2+b＞，解得b＞

y=-2x+b代入抛物线可得x2+8x-4b=0，

∴x3+x4=-8，x3x4=-4b

∴|BC|==＞10

∴|BC|的取值范围为（10，+∞）．

题型：单选题

单选题

已知双曲线C1：-=1的左准线l，左右焦点分别为F1、F2，抛物线C2的准线为l，焦点为F2，P是C1与C2的一个交点，则|PF2|=（　　）

A40

B32

正确答案

解析

解：由题设条件知a=3，b=4，c=5，

如图，

设|PF2|=m，

根据抛物线的定义得：P到左准线l的距离为m，

则P到左准线l的距离为m-，

根据双曲线的定义得：

代入a，b，c的值得：⇒m=9，

故选D．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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