热门试卷

解：（1）设椭圆C1方程为：（a＞b＞0），

∴直线AB方程为：，

∴F1（-1，0）到直线AB距离为d==，化为a2+b2=7（a-1）2，

又b2=a2-1，

解得：a=2，b=．

∴椭圆C1方程为：．

（2）椭圆C1的3倍相似椭圆C2的方程为：．

①若切线m垂直于x轴，则其方程为：x=±2，易求得|MN|=2．

②若切线m不垂直于x轴，可设其方程为：y=kx+m．

将y=kx+m代人椭圆C1方程，得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，

∴△=48（4k2+3-m2）=0，即m2=4k2+3，（*）

记M、N两点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．

将y=kx+m代人椭圆C2方程，得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2-36=0，

∴x1+x2=-，x1x2=，

∴|x1-x2|===，

∴|MN|===

∵3+4k2≥3，∴，即，

综合①②，得：弦长|MN|的取值范围为．

解：（1）因为抛物线C1经过椭圆C2的两个焦点F1（-c，0），F2（c，0），

所以c2+b×0=b2，即c2=b2，由a2=b2+c2=2c2

得椭圆C2的离心率．

（2）由（1）可知a2=2b2，椭圆C2的方程为：

联立抛物线C1的方程x2+by=b2得：2y2-by-b2=0，

解得：或y=b（舍去），所以，

即，所以△QMN的重心坐标为（1，0）．

因为重心在C1上，所以12+b×0=b2，得b=1．

所以a2=2．

所以抛物线C1的方程为：x2+y=1，

椭圆C2的方程为：．

解：（Ⅰ）由C2：y2=4x知F2（1，0）．

设M（x1，y1），M在C2上，因为，

所以，得，．M在C1上，且椭圆C1的半焦距c=1，

于是

消去b2并整理得9a4-37a2+4=0，解得a=2（不合题意，舍去）．

故椭圆C1的方程为．

（Ⅱ）由知四边形MF1NF2是平行四边形，其中心为坐标原点O，

因为l∥MN，所以l与OM的斜率相同，

故l的斜率．设l的方程为．

由

消去y并化简得9x2-16mx+8m2-4=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），，．

因为，所以x1x2+y1y2=0．

x1x2+y1y2

=x1x2+6（x1-m）（x2-m）

=7x1x2-6m（x1+x2）+6m2

==．

所以．此时△=（16m）2-4×9（8m2-4）＞0，

故所求直线l的方程为，或．

解：（1）对于直线l：y=x-3，令y=0，可得x=，

∴焦点为（，0），

∴c=，

∵点（0，b）到直线l的距离为2，

∴=2，

∵b＞0，

∴b=1，

∴a=2，

∴椭圆E的方程；

（2）①当AB为长轴（或短轴）时，由题意，C是椭圆的上下顶点（或左右顶点），；

②当直线AB的斜率存在且不为0时，设AB：y=kx，代入椭圆方程，可得，

∵|AC|=|CB|，O为AB的中点，

∴OC⊥AB，

∴直线OC的方程为y=-，

同理可得，

∴，，

∴S△ABC=2S△OAC=|OA||OC|=≥=，

当且仅当1+4k2=4+k2，即k=±1时取等号，

∴k=±1时，△ABC的面积最小值，

此时，C（，±）或C（-，±）．