直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

· 直线与圆锥曲线的综合问题

直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

热门试卷

X 查看更多试卷

题型：填空题

填空题

（2015•固原校级模拟）从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N，则线段QN的中点P的轨迹方程为______．

正确答案

2x2-2y2-2x+2y-1=0

解析

解：设P（x，y），Q（x1，y1），则N（2x-x1，2y-y1），

∵N在直线x+y=2上，

∴2x-x1+2y-y1=2①

又∵PQ垂直于直线x+y=2，∴=1，

即x-y+y1-x1=0．②

由①②得，

又∵Q在双曲线x2-y2=1上，

∴x12-y12=1．

∴（x+y-1）2-（x+y-1）2=1．

整理，得2x2-2y2-2x+2y-1=0即为中点P的轨迹方程．

故答案为：2x2-2y2-2x+2y-1=0．

题型：填空题

填空题

已知A（0，7），B（0，-7）、C（12，2），以C为一个焦点作过A，B两点的椭圆，求椭圆的另一个焦点F的轨迹方程______．

正确答案

y2-=1（y≤-1）

解析

解：由题意|AC|=13，|BC|=15，

|AB|=14，又|AF|+|AC|=|BF|+|BC|，

∴|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2＜14．

故F点的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为2的双曲线下支．

又c=7，a=1，b2=48，

所以轨迹方程为y2-=1（y≤-1）．

故答案为：y2-=1（y≤-1）．

题型：简答题

简答题

已知抛物线x2=4y的焦点为F，过F任作直线l（l与x轴不平行）交抛物线分别于A，B两点，点A关于y轴对称点为C，

（1）求证：直线BC与y轴交点D必为定点；

（2）过A，B分别作抛物线的切线，两条切线交于E，求的最小值，并求当取最小值时直线l的方程．

正确答案

（1）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），

∵抛物线的焦点为F（0，1），

∴可设直线l的方程为：y=kx+1（k≠0）．

联立，消去y并整理得：x2-4kx-4=0

所以x1+x2=4k，x1x2=-4

由对称性知C（-x1，y1），

直线BC的方程为，即

∴直线BC与y轴交于定点D（0，-1）

（2），∴过点A的切线方程为：

即：①，同理可得过点B的切线方程为：

②

①-②得：（x1≠x2）

∴

①+②得：

=．

∴y=-1．

∴E（2k，-1），|DE|=2|k|

∴，取等号时，k=±1，

直线l的方程为：y=x+1或y=-x+1．

解析

（1）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），

∵抛物线的焦点为F（0，1），

∴可设直线l的方程为：y=kx+1（k≠0）．

联立，消去y并整理得：x2-4kx-4=0

所以x1+x2=4k，x1x2=-4

由对称性知C（-x1，y1），

直线BC的方程为，即

∴直线BC与y轴交于定点D（0，-1）

（2），∴过点A的切线方程为：

即：①，同理可得过点B的切线方程为：

②

①-②得：（x1≠x2）

∴

①+②得：

=．

∴y=-1．

∴E（2k，-1），|DE|=2|k|

∴，取等号时，k=±1，

直线l的方程为：y=x+1或y=-x+1．

题型：简答题

简答题

如图所示，点N在圆x2+y2=4上运动，DN⊥x轴，点M在DN的延长线上，且（λ＞0）．

（1）求点M的轨迹方程，并求当λ为何值时M的轨迹表示焦点在x轴上的椭圆；

（2）当时，（1）所得曲线记为C，已知直线，P是l上的动点，射线OP（O为坐标原点）交曲线C于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|•|OP|=|OR|2，求点Q的轨迹方程．

正确答案

解：（1）设M（x，y），N（x0，y0），

由得 x=x0，y=λy0，

∴，…（2分）

把N（x0，y0）代入圆的方程得，

化简得．…（4分）

当0＜λ＜1时，M的轨迹表示焦点在x轴上的椭圆．…（5分）

（2））当时，（1）所得曲线C为．

设P（x1，y1），R（x2，y2），Q（x，y）

∵P在l上、R在椭圆上，∴①②…（7分）

设，由比例性质得，∴x1=tx，y1=ty，…（8分）

代入①得③…（9分）

∵|OQ|•|OP|=|OR|2，∴，

∴…（10分）

代入②得④…（11分）

由③④联立得=，又t≠0，

∴，原点除外．

化简得点Q的轨迹方程为x2-2x+4y2-4y=0（原点除外）．…（13分）

解析

解：（1）设M（x，y），N（x0，y0），

由得 x=x0，y=λy0，

∴，…（2分）

把N（x0，y0）代入圆的方程得，

化简得．…（4分）

当0＜λ＜1时，M的轨迹表示焦点在x轴上的椭圆．…（5分）

（2））当时，（1）所得曲线C为．

设P（x1，y1），R（x2，y2），Q（x，y）

∵P在l上、R在椭圆上，∴①②…（7分）

设，由比例性质得，∴x1=tx，y1=ty，…（8分）

代入①得③…（9分）

∵|OQ|•|OP|=|OR|2，∴，

∴…（10分）

代入②得④…（11分）

由③④联立得=，又t≠0，

∴，原点除外．

化简得点Q的轨迹方程为x2-2x+4y2-4y=0（原点除外）．…（13分）

题型：简答题

简答题

已知椭圆Γ：=1（ a＞b＞0）的焦距为2，一个焦点与短轴两端点构成一个等边三角形，直线l：y=2x+b（b∈R）与椭圆Γ相交于A、B两点，且∠AOB为钝角．

（1）求椭圆Γ的方程；

（2）求b的取值范围．

正确答案

解：（1）由已知，

解得a=2，b=1，

∴椭圆Γ的方程为；

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则

直线l：y=2x+b（b∈R）代入椭圆Γ，可得17x2+16bx+4b2-4=0，

∴△=256b2-16×17（b2-1）＞0，即b2＜17，且x1+x2=-，x1x2=

∴y1y2=4x1x2+2b（x1+x2）+b2=．

∵∠AOB为钝角，

∴x1x2+y1y2=＜0，

∴-2＜b＜2，

∵b=0时，∠AOB为平角，

∴b的取值范围为（-2，0）∪（0，2）．

解析

解：（1）由已知，

解得a=2，b=1，

∴椭圆Γ的方程为；

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则

直线l：y=2x+b（b∈R）代入椭圆Γ，可得17x2+16bx+4b2-4=0，

∴△=256b2-16×17（b2-1）＞0，即b2＜17，且x1+x2=-，x1x2=

∴y1y2=4x1x2+2b（x1+x2）+b2=．

∵∠AOB为钝角，

∴x1x2+y1y2=＜0，

∴-2＜b＜2，

∵b=0时，∠AOB为平角，

∴b的取值范围为（-2，0）∪（0，2）．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

百度题库 > 高考 > 数学 > 直线与圆锥曲线的综合问题

扫码查看完整答案与解析