热门试卷

解：（Ⅰ）依题意，设椭圆C的方程为（a＞b＞0）．

∵|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列，

∴2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4，a=2．

又∵c=1，∴b2=3．∴椭圆C的方程为…（4分）

（Ⅱ）将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程中，得

（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0．                

由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，△=64k2m2-4（4k2+3）（4m2-12）=0，

化简得：m2=4k2+3．     …（6分）

设坐标原点到动直线L的距离为d，则

2d=|F1M|+|F2N|=2…（8分）

=2，

∵k2≤1，∴k2=1时，|F1M|+|F2N|最大

此时m=．

故所求直线方程为y=-x+或y=x+…（12分）

解：（I）设动点M的坐标为（x，y）

由题意得=（x-1，y），=（x+1，y）

=（x，y-1），=（x，y+1），=（x，y）

∴•=x2-1+y2，•-=x2+y2-1=y2-1

化简得动点M的轨迹方程为x2+（1-m）y2=1-m

当m=1时，x2=0，即x=0，动点M的轨迹是一条直线；

当m≠1时，方程可以化为：

此时，当m=0时，动点M的轨迹是一个圆；

当m＜0，或0＜m＜1时，动点M的轨迹是一个椭圆

当m＞1时，动点M的轨迹是一条双曲线

（II）当m≠1且m≠0时，由得x2+（1-m）（x2+4x+4）=1-m∴（2-m）x2+4（1-m）x+3（1-m）=0

∵l与该圆锥曲线交于不同的两个点∴

即∴m＞1且m≠2或m＜-2

（1）m＞1且m≠2时，圆锥曲线表示双曲线

其中，a2=1，b2=m-1，c2=m∴且

（2）当m＜-2时，该圆锥曲线表示椭圆：

其中a2=1-m，b2=1，c2=-m∵∴

综上：该圆锥曲线的离心率e的取值范围是．

解：设过点P（1，1）的直线方程为y=k（x-1）+1或x=1

（1）当k存在时，有y=k（x-1）+1，，

得（2-k2）x2+（2k2-2k）x-k2+2k-3=0    （1）

当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有

△=（2k2-2k）2-4（2-k2）（-k2+2k-3）＞0，k＜，

又方程（1）的两个不同的根是两交点A、B的横坐标

∴x1+x2=，又P（1，1）为线段AB的中点

∴=1，即=1，k=2．

∴k=2，使2-k2≠0但使△＜0

因此当k=2时，方程（1）无实数解

故过点P（1，1）与双曲线交于两点A、B且P为线段AB中点的直线不存在．

（2）当x=1时，直线经过点P但不满足条件，

综上，符合条件的直线l不存在．

解：（Ⅰ）设双曲线方程为

由椭圆

求得两焦点为（-2，0），（2，0），

∴对于双曲线C：c=2，又为双曲线C的一条渐近线

∴解得a2=1，b2=3，

∴双曲线C的方程为

（Ⅱ）由题意知直线l得斜率k存在且不等于零，设l的方程：y=kx+4，A（x1，y1），B（x2，y2）

则

∵，

∴．

∴

同理λ2=-，

所以．

即2k2x1x2+5k（x1+x2）+8=0．（*）

又y=kx+4以及

消去y得（3-k2）x2-8kx-19=0．

当3-k2=0时，则直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意，3-k2≠0．

由韦达定理有：

代入（*）式得k2=4，k=±2

∴所求Q点的坐标为（±2，0）．