- 直线与圆锥曲线的综合问题
- 共2643题
对任意实数θ，则方程x2+y2sinθ=4所表示的曲线不可能是（ ）
正确答案
解析
解：由题意，sinθ∈[-1，1]
∴sinθ=1时，方程表示圆；sinθ=0时，方程表示两条直线；
sinθ∈[-1，0）时，方程表示双曲线；sinθ∈（0，1），方程表示椭圆．
即方程x2+y2sinθ=4不表示抛物线
故选C．
（1）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；
（2）若α为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2α为定值，并求此定值．
正确答案
（1）解：设抛物线C：y2=2px（p＞0），则2p=8，从而p=4
因此焦点F（2，0），准线方程为x=-2；
（2）证明：作AC⊥l，BD⊥l，垂足为C，D．
则由抛物线的定义，可得|FA|=|AC|，|FB|=|BD|
设A（x1，y1），B（x2，y2），则|FA|=|AC|=|FA|cosα+4，∴
同理
记直线m与AB的交点为E，则|FE|=|FA|-|AE|=|FA|-
∴|FP|=
∴|FP|-|FP|cos2α=
解析
（1）解：设抛物线C：y2=2px（p＞0），则2p=8，从而p=4
因此焦点F（2，0），准线方程为x=-2；
（2）证明：作AC⊥l，BD⊥l，垂足为C，D．
则由抛物线的定义，可得|FA|=|AC|，|FB|=|BD|
设A（x1，y1），B（x2，y2），则|FA|=|AC|=|FA|cosα+4，∴
同理
记直线m与AB的交点为E，则|FE|=|FA|-|AE|=|FA|-
∴|FP|=
∴|FP|-|FP|cos2α=
抛物线y=x2上到直线2x-y=4距离最近的点的坐标是______．
正确答案
（1，1）
解析
解：设P（x，y）为抛物线y=x2上任一点，
则P到直线的距离d=
∴x=1时，d取最小值
此时P（1，1）．
故答案为：（1，1）
已知F1，F2为双曲线
（Ⅰ）若点P为双曲线与圆x2+y2=a2+b2的一个交点，且满足|PF1|=2|PF2|，求此双曲线的离心率；
（Ⅱ）设双曲线的渐近线方程为y=±x，F2到渐近线的距离是
正确答案
解：（Ⅰ）由题设得：
因为点P为双曲线与圆x2+y2=a2+b2=c2的一个交点，∴PF1⊥PF2，
∴
（Ⅱ）∵双曲线的渐近线方程为y=±x，F2到渐近线的距离是
∴
所以双曲线方程为x2-y2=2，F2（2，0），
设A（x1，y1），B（x2，y2），由双曲线的焦半径公式得：
∵以AB为直径的圆与y轴相切，∴
∴
所以
解析
解：（Ⅰ）由题设得：
因为点P为双曲线与圆x2+y2=a2+b2=c2的一个交点，∴PF1⊥PF2，
∴
（Ⅱ）∵双曲线的渐近线方程为y=±x，F2到渐近线的距离是
∴
所以双曲线方程为x2-y2=2，F2（2，0），
设A（x1，y1），B（x2，y2），由双曲线的焦半径公式得：
∵以AB为直径的圆与y轴相切，∴
∴
所以
若直线mx-ny=4与⊙O：x2+y2=4没有交点，则过点P（m，n）的直线与椭圆
正确答案
解析
解：由题意圆心（0，0）到直线mx-ny=4的距离d=
即m2+n2＜4，点（m，n）在以原点为圆心，2为半径的圆内，
与椭圆
故选B
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