直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

· 直线与圆锥曲线的综合问题

直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

热门试卷

X 查看更多试卷

题型：简答题

简答题

已知抛物线E：x2=4y，m，n是经过点A（a，-1）且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E相交于不同的两点C，D

（Ⅰ）求m的斜率k的取值范围；

（Ⅱ）当n过E的焦点时，求B到n的距离．

正确答案

解：（Ⅰ）m：y+1=k（x-a），n：y+1=-k（x-a），

分别代入x2=4y，得x2-4kx+4ka+4=0①，x2+4kx-4ka+4=0②，…（2分）

由△1=0得k2-ka-1=0，

由△2＞0得k2+ka-1＞0，…（4分）

故有2k2-2＞0，得k2＞1，即k＜-1或k＞1． …（6分）

（Ⅱ）F（0，1），kAF==-k，所以ak=2． …（8分）

由△1=0得k2=ka+1=3，

B（2k，k2），所以B到n的距离d===4 …（12分）

解析

解：（Ⅰ）m：y+1=k（x-a），n：y+1=-k（x-a），

分别代入x2=4y，得x2-4kx+4ka+4=0①，x2+4kx-4ka+4=0②，…（2分）

由△1=0得k2-ka-1=0，

由△2＞0得k2+ka-1＞0，…（4分）

故有2k2-2＞0，得k2＞1，即k＜-1或k＞1． …（6分）

（Ⅱ）F（0，1），kAF==-k，所以ak=2． …（8分）

由△1=0得k2=ka+1=3，

B（2k，k2），所以B到n的距离d===4 …（12分）

题型：简答题

简答题

已知以原点O为中心，为右焦点的双曲线C的离心率．

（1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；

（2）如图，已知过点M（x1，y1）的直线l1：x1x+4y1y=4与过点N（x2，y2）（其中x2≠x1）的直线l2：x2x+4y2y=4的交点E在双曲线C上，直线MN与两条渐近线分别交与G、H两点，求△OGH的面积．

正确答案

解：（1）设C的标准方程为（a＞0，b＞0），

则由题意知，，

∴a=2，b=1，

∴C的标准方程为．

∴C的渐近线方程为，即x-2y=0和x+2y=0．

（2）由题意知，点E（xE，yE）在直线l1：x1x+4y1y=4和l2：x2x+4y2y=4上，

因此有xEx+4yEy=4上，因此直线MN的方程为xEx+4yEy=4．

设G，H分别是直线MN与渐近线x-2y=0及x+2y=0的交点，

由方程组及，解得，

设MN与x轴的交点为Q，则在直线xEx+4yEy=4k，令y=0得，

∵xE2-4yE2=4，

∴

=．

解析

解：（1）设C的标准方程为（a＞0，b＞0），

则由题意知，，

∴a=2，b=1，

∴C的标准方程为．

∴C的渐近线方程为，即x-2y=0和x+2y=0．

（2）由题意知，点E（xE，yE）在直线l1：x1x+4y1y=4和l2：x2x+4y2y=4上，

因此有xEx+4yEy=4上，因此直线MN的方程为xEx+4yEy=4．

设G，H分别是直线MN与渐近线x-2y=0及x+2y=0的交点，

由方程组及，解得，

设MN与x轴的交点为Q，则在直线xEx+4yEy=4k，令y=0得，

∵xE2-4yE2=4，

∴

=．

题型：填空题

填空题

已知抛物线C：y=2x2与直线y=kx+2交于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线，垂足为N，若，则k=______．

正确答案

解析

解：设A（x1，2x12），B（x2，2x22），

把y=kx+2代入y=2x2得2x2-kx-2=0

由韦达定理得x1+x2=，x1•x2=-1，

所以M（），

所以N点的坐标为（）．

，，

所以=

=-1

因为，

所以3=0

所以k=

故答案为：

题型：填空题

填空题

在平面直角坐标系中，记抛物线y=x-x2与x轴所围成的平面区域为M，该抛物线与直线y=kx（k＞0）所围成的平面区域为A，向区域M内随机抛掷一点P，若点P落在区域A内的概率为，则k的值为______．

正确答案

解析

解：∵抛物线y=x-x2与x轴交于点（0，0）与（1，0），

∴根据定积分的几何意义，可得抛物线与x轴所围成的平面区域M的面积为

S=（x-x2）dx=（）=．

设抛物线与直线y=kx（k＞0）所围成的平面区域A的面积为S‘，

∵向区域M内随机抛掷一点P，点P落在区域A内的概率为，

∴=，可得S'=S=．

求出y=x-x2与y=kx的交点中，除原点外的点B坐标为（1-k，k-k2），

可得S'=[（x-x2）-kx]dx=[（1-k）x2]=（1-k）3．

因此可得（1-k）3=，解之得k=．

故答案为：

题型：简答题

简答题

已知△ABP的三个顶点在抛物线C：x2=4y上，F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，=3，

（Ⅰ）若|PF|=3，求点M的坐标；

（Ⅱ）求△ABP面积的最大值．

正确答案

解：（Ⅰ）由题意知焦点F（0，1），准线方程为y=-1，

设P（x0，y0），由抛物线的定义可知|PF|=y0+1，解得y0=2，

∴x0=，即P（2，2）或P（-2，2），

由=3，得M（-，）或M（，）．

（Ⅱ）设直线AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），

由得x2-4kx-4m=0，

于是△=16k2+16m＞0，x1+x2=4k，x1x2=-4m，

即AB的中点M的坐标为（2k，2k2+m）

由=3，得（-x0，1-y0）=3（2k，2k2+m-1），

解得，由，得k2=-+，

由△＞0，k＞0得-＜m＜，

又∵|AB|=4，

点F到直线AB的距离d=，

∴S△ABP=4S△ABF=8|m-1|，

设f（m）=3m3-5m2+m+1，（），

则f‘（m）=9m2-10m+1=0，解得m1=，m2=1，

于是f（m）在（）是增函数，在（，1）上是减函数，在（1，）上是增函数，

又f（）=，

∴当m=时，f（m）取得最大值，此时k=，

∴△ABP面积的最大值为．

解析

解：（Ⅰ）由题意知焦点F（0，1），准线方程为y=-1，

设P（x0，y0），由抛物线的定义可知|PF|=y0+1，解得y0=2，

∴x0=，即P（2，2）或P（-2，2），

由=3，得M（-，）或M（，）．

（Ⅱ）设直线AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），

由得x2-4kx-4m=0，

于是△=16k2+16m＞0，x1+x2=4k，x1x2=-4m，

即AB的中点M的坐标为（2k，2k2+m）

由=3，得（-x0，1-y0）=3（2k，2k2+m-1），

解得，由，得k2=-+，

由△＞0，k＞0得-＜m＜，

又∵|AB|=4，

点F到直线AB的距离d=，

∴S△ABP=4S△ABF=8|m-1|，

设f（m）=3m3-5m2+m+1，（），

则f‘（m）=9m2-10m+1=0，解得m1=，m2=1，

于是f（m）在（）是增函数，在（，1）上是减函数，在（1，）上是增函数，

又f（）=，

∴当m=时，f（m）取得最大值，此时k=，

∴△ABP面积的最大值为．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

百度题库 > 高考 > 数学 > 直线与圆锥曲线的综合问题

扫码查看完整答案与解析