热门试卷

解：（1）当m=0时，直线l的方程为x=1，设点E在x轴上方，

由，解得E（1，），F（1，-）．

所以|EF|==，解得t=2．

所以椭圆C的方程为．

（2）由，得（2m2+9）y2+4my-16=0，显然m∈R．

设E（x1，y1），F（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=．

x1=my1+1，x2=my2+1．

又直线AE的方程为y=，

由，解得M（3，），

同理得N（3，）．又B（1，0），

所以=（2，），=（2，），

又因为•=（2，）•（2，）

=4+=4+

=

=

==0．

所以，所以以MN为直径的圆过点B．

解：（I）设N（x，y），由知R是TN的中点，

则T（-x，0），R（0，），

∵，

∴，

整理，得y2=4px（p＞0）．

故点N的轨迹曲线C的方程是y2=4px（p＞0）．

（II）设，

则，

．

由，得PM⊥QM，

∴kMP•kMQ=-1，

∴，

从而（-1）（y0+y1）（y0+y2）=16p2．

∴（y1+y2）y0+y1y2+y02+16p2=0．①

直线PQ的方程为，

即（y1+y2）y-y1y2-4px=0．

①可变为（y1+y2）（-y0）-y1y2-4p（x0+4p）=0，

∴直线PQ经过定点（x0+4p，-y0）．

（I）解：①设圆的半径为r，则圆心为（r，2），

由|MN|=3，得=，解得r=．

所以⊙C的方程为．

令y=0，解得x=1或4．

∴N（1，0），M（4，0）．

∴2c=2，得c=1．

②∵椭圆过点，∴．

联立，解得．

∴椭圆的方程为．

（II）设直线l的方程为y=k（x-4），

联立消去y得到（3+4k2）x2-32k2x+64k2-12=0，（*）

设A（x1，y1），B（x2，y2），

∴，．

∵kAN+kBN==

=[2x1x2-5（x1+x2）+8]

=

=0．

∴kAN=-kBN．

当x1=1或x2=1时，，此时方程（*）的△=0，不合题意，应舍去．

因此直线NA与直线NB的倾角互补．

解：（Ⅰ）∵∴

又PF1⊥F1F2，∴，，

∴2a=|PF1|+|PF2|=4则c=，∴a=2，b2=1

∴所求椭圆方程为．（6分）

（Ⅱ）设能构成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），

由题意可知，直角边BA，BC不可能垂直或平行于x轴，

故可设BA边所在直线的方程为y=kx+1（不妨设k＜0），则BC边所在直线的方程为y=-，

由，得A，

∴=，（9分）

用-代替上式中的k，得|BC|=，由|AB|=|BC|，得|k|（4+k2）=1+4k2

∵k＜0，∴解得：k=-1或k=，故存在三个内接等腰直角三角形．（12分）