热门试卷

解：（Ⅰ）依题意知a=2，，∴；              

（Ⅱ）∵A（0，1），B（0，-1），M （m，），且m≠0，

∴直线AM的斜率为k1=，直线BM斜率为k2=，

∴直线AM的方程为y=，直线BM的方程为y=，

由得（m2+1）x2-4mx=0，

∴，∴，

由得（9+m2）x2-12mx=0，

∴，∴；                

（Ⅲ）∵，，∠AMF=∠BME，5S△AMF=S△BME，

∴5|MA||MF|=|MB||ME|，∴，

∴，

∵m≠0，∴整理方程得，即（m2-3）（m2-1）=0，

又∵，∴m2-3≠0，∴m2=1，∴m=±1为所求．

解：（Ⅰ）设点P（x0，y0），则，（1）…（1分）

设线段OP的垂直平分线与OP相交于点M，则M，…（2分）

椭圆的右焦点F（4，0），…（3分）

∵MF⊥OP，∴kOP•kMF=-1，

∴，

∴，（2）…（4分）

由（1），（2），解得，

∴点P的横坐标为． …（5分）

（Ⅱ）一般结论为：“过圆x2+y2=a2+b2上任意一点Q（m，n）作椭圆的两条切线，则这两条切线互相垂直．”…（6分）

证明如下：

（ⅰ）当过点Q与椭圆相切的一条切线的斜率不存在时，此时切线方程为x=±a，

∵点Q在圆x2+y2=a2+b2上，

∴Q（±a，±b），

∴直线y=±b恰好为过点Q与椭圆相切的另一条切线，

∴两切线互相垂直．…（7分）

（ⅱ）当过点Q（m，n）与椭圆相切的切线的斜率存在时，可设切线方程为y-n=k（x-m），

由得 b2x2+a2[k（x-m）+n]2-a2b2=0，

整理得（b2+a2k2）x2+2a2k（n-km）x+a2（n-km）2-a2b2=0，…（8分）

∵直线与椭圆相切，∴△=4a4k2（n-km）2-4（b2+a2k2）[a2（n-km）2-a2b2]=0，

整理得（m2-a2）k2-2mnk+（n2-b2）=0，…（9分）

∴，…（10分）

∵点Q（m，n）在圆x2+y2=a2+b2上，

∴m2+n2=a2+b2，

∴m2-a2=b2-n2，

∴k1k2=-1，

∴两切线互相垂直，

综上所述，命题成立．…（13分）

解：（1）∵直线PF1⊥直线PF2

∴以O为圆心以c为半径的圆：x2+y2=c2与椭圆：有交点．即有解

又∵c2=a2-b2=m+1-1=m＞0

∴

∴m≥1

（2）设P（x，y），直线PF2方程为：y=k（x-c）

∵直线l的方程为：

准线L的方程为x=，

设点Q的坐标为（x1，y1），则x1=，

==m+=2-  ②

解可得m=2，从而x0=-，y0=±，c=，

得到PF2的方程y=±（-2）（x-）