热门试卷

（1）解：由抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为（，0），

设直线AB：y=x-，

由得x2-3px=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=3p，

由抛物线的定义得，|AB|=x1+x2+p=4p，

又|AB|=2，则p=，

即抛物线方程是y2=x；

（2）证明：由题设可设E（y12，y1），F（y22，y2），且P（1，1），

由PE与PF垂直，得=0，即（y1-1）（y2-1）+（y12-1）（y22-1）=0，

即（y1-1）（y2-1）[1+（y1+1）（y2+1）]=0，

即有y1y2=-（y1+y2）-2，

当y1+y2≠0时，直线EF：y-y1=（x-y12）．

即y=（x+y1y2）=[x-（y1+y2）-2]，

则直线恒过定点（2，-1）．

当y1+y2=0时，y1=-y2，由y1y2=-（y1+y2）-2=-2，

y12=2，直线EF：x=2，

故EF恒过定点，此点的坐标为（2，-1）．

解：（Ⅰ）由题意，设双曲线的方程为，

∵，

∴b=1，

故双曲线方程为．

（Ⅱ）设直线方程为，

代入得，

，

由得，且k2＜1，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则由韦达定理可得，

x1+x2=，x1x2=；

又∵，

∴

=

=，

解得，

又∵k2＜1，

∴，

∴直线方程为或．

解：（1）因为：焦点F到准线的距离为．

所以：p=．

所以所求方程为：x2=y

（2）设P（t，t2），Q（x，x2），N（x0x02），则直线MN的方程为y-x02=2x0（x-x0）

令y=0，得，

∴

∵NQ⊥QP，且两直线斜率存在，

∴kPM•kNQ=-1，即，

整理得，又Q（x，x2）在直线PM上，

则与共线，得

由（1）、（2）得=，

∴，

∴或（舍）

∴所求t的最小值为．

解：（Ⅰ）∵F是椭圆（a＞b＞0）的一个焦点，A，B是椭圆的两个顶点，

椭圆的离心率为，

∴，∴=，∴b=，c=，

设F（-c，0），B（0，）=（0，），

∵kBF==，BC⊥BF，

∴kBC=-，∴=，∴xC====3c，

∴C（3c，0），

设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，

把B（0，），C（3c，0），F（-c，0）代入，得：

，

解得D=-2c，E=0，F=-3c2，

∴圆M的方程为（x-c）2+y2=4c2，

∵圆M与直线l1：x+y+3=0相切，

∴，解得c=1，

∴a=2，b=，

∴所求的椭圆方程为．

（Ⅱ）∵A是椭圆方程为的左顶点，∴A（-2，0），

∵圆M的方程为（x-1）2+y2=4，

∴过点A斜率不存在的直线与圆不相交，

∴设直线l2的方程为y=k（x+2），

∵，又||=||=2，

∴cos＜＞==-，

∴∠PMQ=120°，

圆心M到直线l2的距离d=，

∴，解得k=，

∴直线l2的方程为y=（x+2）．