直线与圆锥曲线的综合问题_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，且椭圆C的离心率e=．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若直线x=t（t＞0）与椭圆C交于不同的两点A、B，以线段AB为直径作圆M，若圆M与y轴相切，求直线x-y+1=0被圆M所截得的弦长．

正确答案

解：（Ⅰ）因为抛物线的焦点坐标为（），所以c=，…（2分）

又椭圆的离心率，所以a=6，b2=a2-c2=12

所以椭圆方程为：；…（5分）

（Ⅱ）由题意知M，圆心M为线段AB中点，且位于x轴的正半轴，故设M的坐标为（t，0）

因为圆M与y轴相切，不妨设点B在第一象限，又MA=MB=t，所以B（t，t）

∴ 解得t=3，…（8分）

∴圆心M（3，0），半径r=3

∴圆M的方程为：（x-3）2+y2=9；…（10分）

又圆心M到直线x-y+1=0的距离

所以，直线x-y+1=0被圆M所截得的弦长为：

． …（13分）

解析

解：（Ⅰ）因为抛物线的焦点坐标为（），所以c=，…（2分）

又椭圆的离心率，所以a=6，b2=a2-c2=12

所以椭圆方程为：；…（5分）

（Ⅱ）由题意知M，圆心M为线段AB中点，且位于x轴的正半轴，故设M的坐标为（t，0）

因为圆M与y轴相切，不妨设点B在第一象限，又MA=MB=t，所以B（t，t）

∴ 解得t=3，…（8分）

∴圆心M（3，0），半径r=3

∴圆M的方程为：（x-3）2+y2=9；…（10分）

又圆心M到直线x-y+1=0的距离

所以，直线x-y+1=0被圆M所截得的弦长为：

． …（13分）

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题型：填空题

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填空题

直线y=k（x-1）交抛物线y2=8x于A、B两点，若AB中点的横坐标为3，则弦AB的长为______．

正确答案

解析

解：联立，k2x2-（2k2+8）x+k2=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则

，

∵AB的中点的横坐标为2，∴，

解得：k=±2，

当k=-2时，方程k2x2-（2k2+8）x+k2=0化为x2-4x+1=0，

x1+x2=4，x1x2=1，

|AB|=；

当k=2时，方程k2x2-（2k2+8）x+k2=0化为x2-4x+1=0，

x1+x2=4，x1x2=1，

|AB|=．

∴|AB|=2．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆的离心率为，点M（2，3），N（2，-3）为C上两点，斜率为的直线l与椭圆C交于点A，B（A，B在直线MN两侧）．

（I）求四边形MANB面积的最大值；

（II）设直线AM，BM的斜率为k1，k2，试判断k1+k2是否为定值．若是，求出这个定值；若不是，说明理由．

正确答案

解：（I），设椭圆，代入M（2，3），得c=2，

所以椭圆C的方程为

设直线l的方程为（m∈R），A（x1，y1），B（x2，x2）

游，得x2+mx+m2-12=0

则x1+x2=-m，x1x2=m2-12

又

=

显然当m=0时，SMANB=．

（II）设直线MA、MB的方程分别为y=k1（x-2）+3（5）y=k2（x-2）+3（k1，2∈R）

将（5）代入（4）得：（16k12+12）x2+（96k1-64k12）x+64k12-192k1-48=0

则∴

∴，同理：

化简得：k12=k22∵k1≠k2∴k1=-k2

即k1+k2=0为定值．

解析

解：（I），设椭圆，代入M（2，3），得c=2，

所以椭圆C的方程为

设直线l的方程为（m∈R），A（x1，y1），B（x2，x2）

游，得x2+mx+m2-12=0

则x1+x2=-m，x1x2=m2-12

又

=

显然当m=0时，SMANB=．

（II）设直线MA、MB的方程分别为y=k1（x-2）+3（5）y=k2（x-2）+3（k1，2∈R）

将（5）代入（4）得：（16k12+12）x2+（96k1-64k12）x+64k12-192k1-48=0

则∴

∴，同理：

化简得：k12=k22∵k1≠k2∴k1=-k2

即k1+k2=0为定值．

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题型：简答题

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简答题

设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F与l切于B点，且△ABF的面积为2．

（Ⅰ）求p的值及圆F的方程；

（Ⅱ）过B作直线与抛物线C交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，是否存在常数m，使=恒成立？若存在，求常数m的值；若不存在，请说明理由．

正确答案

解：（Ⅰ）∵抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，

以F为圆心，FA为半径的圆F与l切于B点，且△ABF的面积为2．

∴设A（，y），由题意知F（0，），|AF|=p，且，

解得A（），

由|AF|==p，解得p=2，∴A（2，1），

圆心F（0，1），圆半径r=2，

∴圆F的方程为x2+（y-1）2=4．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，抛物线方程为x2=4y，B（0，-1），

由题意知过B点的直线的斜率必存在，设过B点的直线方程为y=kx-1，（k≠0）

联立，得x2-4kx+4=0，

∵过B作直线与抛物线C交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，

∴△=16k2+16＞0恒成立，x1+x2=4k，x1x2=4，

若存在常数m，使=恒成立，

则=，

∴=，

∵，

∴=，

∴存在常数m=-1，使=恒成立．

解析

解：（Ⅰ）∵抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，

以F为圆心，FA为半径的圆F与l切于B点，且△ABF的面积为2．

∴设A（，y），由题意知F（0，），|AF|=p，且，

解得A（），

由|AF|==p，解得p=2，∴A（2，1），

圆心F（0，1），圆半径r=2，

∴圆F的方程为x2+（y-1）2=4．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，抛物线方程为x2=4y，B（0，-1），

由题意知过B点的直线的斜率必存在，设过B点的直线方程为y=kx-1，（k≠0）

联立，得x2-4kx+4=0，

∵过B作直线与抛物线C交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，

∴△=16k2+16＞0恒成立，x1+x2=4k，x1x2=4，

若存在常数m，使=恒成立，

则=，

∴=，

∵，

∴=，

∴存在常数m=-1，使=恒成立．

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题型：简答题

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简答题

已知点A、B的坐标分别是（-1，0），（1，0），直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为m（m≤-1），记点M的轨迹为曲线C．

（1）求曲线C的方程，并判断曲线C为何种曲线；

（2）若曲线C经过点（，1）．

①当点M在曲线C上运动时，求的取值范围；

②过点D（2，0）的直线L与曲线C交于不同的两点E、F（E在D、F之间），求△ODE与△ODF（其中O是直角坐标系的坐标原点）面积之比的取值范围．

正确答案

解：（1）设M（x，y）；则

kAM=，kMB=；

则由题意可得，

•=m；

故y2=m（x2-1）；

若m=-1，则可化为y2+x2=1；

表示了以原点为圆心，1为半径的圆（除A，B点）；

若m＜-1；则+x2=1；

表示了焦点在y轴，以A、B为短轴端点的椭圆（除A，B点）；

（2）由题意，+=1；

故m=-2；

故C：+x2=1；

①设M（cosa，sina）；

则=（cosa+1，sina），=（cosa-1，sina）；

=（cosa+1，sina）•（2cosa，2sina）

=2cos2a+2cosa+4sin2a

=-2cos2a+2cosa+4；

故-2-2+4≤≤；

即0≤≤；

②设直线L的方程为x=my+2；

与椭圆+x2=1联立消x得，

（2m2+1）y2+8my+6=0；

故△=64m2-4×6×（2m2+1）＞0，

解得，m2＞；

y=；不妨设m＜0；

故△ODE与△ODF（其中O是直角坐标系的坐标原点）面积之比为

=

=-1+

=-1+；

∵m2＞，

∴0＜＜4；

故8＜8+＜12；

故＜＜2；

故＜-1+＜1；

故△ODE与△ODF（其中O是直角坐标系的坐标原点）面积之比的取值范围为（，1）．

解析

解：（1）设M（x，y）；则

kAM=，kMB=；

则由题意可得，

•=m；

故y2=m（x2-1）；

若m=-1，则可化为y2+x2=1；

表示了以原点为圆心，1为半径的圆（除A，B点）；

若m＜-1；则+x2=1；

表示了焦点在y轴，以A、B为短轴端点的椭圆（除A，B点）；

（2）由题意，+=1；

故m=-2；

故C：+x2=1；

①设M（cosa，sina）；

则=（cosa+1，sina），=（cosa-1，sina）；

=（cosa+1，sina）•（2cosa，2sina）

=2cos2a+2cosa+4sin2a

=-2cos2a+2cosa+4；

故-2-2+4≤≤；

即0≤≤；

②设直线L的方程为x=my+2；

与椭圆+x2=1联立消x得，

（2m2+1）y2+8my+6=0；

故△=64m2-4×6×（2m2+1）＞0，

解得，m2＞；

y=；不妨设m＜0；

故△ODE与△ODF（其中O是直角坐标系的坐标原点）面积之比为

=

=-1+

=-1+；

∵m2＞，

∴0＜＜4；

故8＜8+＜12；

故＜＜2；

故＜-1+＜1；

故△ODE与△ODF（其中O是直角坐标系的坐标原点）面积之比的取值范围为（，1）．

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