热门试卷

解：（I ）∵a＞b＞0，P是椭圆E上的点，与x轴平行，

∴，

∵=，

∴，

∴，

∴．

（II）∵椭圆E上的点与椭圆E的长轴的两个端点构成的三角形的面积的最大值等于2，

∴ab=2，解方程组，得，

∴椭圆E的方程为．

若直线AB与x轴垂直，则由椭圆的对称性得A（x1，y1），B（x1，-y1），

∵，

∴，

即y1=±2x1．

此时S=．

当直线AB的斜率存在时，设直线AB为：kx-y+m=0，

设A（x1，kx1+m），B（x2，kx2+m），

则，，

∵，

∴，

即（4+k2）x1x2+mk（x1+x2）+m2=0x1x2+mk（x1+x2）+m2=0，

由，得（4+k2）x2+2kmx+m2-4=0，

∴，

∴，

∵（4+k2）x1x2+mk（x1+x2）+m2=0，

∴8m2-4k2-16=0，即mk（x1+x2）+m2=0．

∵

=

=．

原点O到kx-y+m=0的距离，

∴．

综上所述，△AOB的面积是定值，等于1．

解：（1）由题设条件知，Rt△OFA∽Rt△OBF，

故，即，因此c2=ab．①（2分）

在Rt△OFA中，FA===b

于是，直线OA的斜KOA=．设直线BF的斜率为k，k=-=-．

所以直线BF的方程为：（5分）

直线BF与y轴的交点为．（6分）

（2）由（1），得直线BF得方程为y=kx+a，②

由已知，P（x1，y1），Q（x2，y2），则它们的坐标满足方程③

由方程组③消y，并整理得（b2+a2k2）x2+2a3x2+2a3kx+a4-a2b2=0，④

由式①、②和④，.

综上，得到，（12分）

又因a2-ab+b2=a2-c2+b2=2b2，得

•=====a（a-b）

═b2．（15分）

解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率是，点P（2，1）在椭圆上，

∴，

∴a2=8，b2=2，

∴椭圆的方程为；

（2）依题意，直线l的斜率存在且不为0，则直线l的方程为：y=k（x-1）．

设点C（2，0）关于直线l的对称点为C′（a，b），则，

∴，，

若点C′（a，b）在椭圆上，则，

∴b2k4+（2b2-4）k2+（b2-1）=0，

设k2=t，因此原问题转化为关于t的方程b2t2+（2b2-4）t+（b2-1）=0有正根．

①当b2-1＜0时，方程一定有正根；

②当b2-1≥0时，则有，

∴b2≤

∴综上得0＜b≤．

又椭圆的焦距为2c=2b，

∴0＜2c≤4．

故椭圆的焦距的取值范围是（0，4]

解：（1）∵F1、F2分别是椭圆的左右焦点，

P是该椭圆上的一个动点，且|PF1|+|PF2|=4，|F1F2|=2，

∴，

即a=2，c=，∴，

∴椭圆方程为．

（2）当l的斜率不存在时，即x=0不满足题设条件…3

设l为y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2），

则，

∴，

∴，

∵∠AOB=90°，∴，

∴k2=4，k=±2．