直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

· 直线与圆锥曲线的综合问题

直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

热门试卷

X 查看更多试卷

题型：填空题

填空题

已知a为正实数，n为自然数，抛物线与x轴正半轴相交于点A．设f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距．

（1）用a和n，表示f（n）；

（2）求对所有n都有成立的a的最小值；

（3）当0＜a＜1时，比较与的大小，并说明理由．

正确答案

解析

解：（1）∵抛物线与x轴正半轴相交于点A，

∴A

求导，可得y′=-2x

∴抛物线在点A处的切线方程为y=-（x-），即y=-x+an

∵f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距，

∴f（n）=an；

（2）由（1）知f（n）=an，则成立的充要条件是an≥2n3+1

即知，an≥2n3+1对所有n成立，特别的，取n=2得到a≥

当a=，n≥3时，an＞4n=（1+3）n≥1+3+9+27=1+2n3+n[5（n-2）2+（2n-5）]＞2n3+1

当n=0，1，2时，（）n≥2n3+1

∴a=时，对所有n都有成立

∴a的最小值为；

（3）由（1）知f（k）=ak，下面证明：＞．

首先证明：当0＜x＜1时，≥x

设函数g（x）=x（x2-x）+1，0＜x＜1，则g′（x）=x（x-）

当0＜x＜时，g′（x）＜0；当＜x＜1时，g′（x）＞0

故函数g（x）在区间（0，1）上的最小值g（x）min=g（）=0

∴当0＜x＜1时，g（x）≥0，∴≥x

由0＜a＜1知0＜ak＜1，因此，

从而=++…+=＞=

题型：简答题

简答题

已知抛物线C1的方程为y=x2，抛物线C2的方程为y=2-x2，C1和C2交于A，B两点，D是曲线段AOB段上异于A，B的任意一点，直线AD交C2于点E，G为△BDE的重心，过G作C1的两条切线，切点分别为M，N，求线段MN的长度的取值范围．

正确答案

解：设A（-1，1），B（1，1），D（），（-1＜x0＜1），…（2分）

直线AD：y=（x0-1）x+x0，代入y=2-x2，

E（2-x0，-+4x0-2），G（1，），

设切点N（），M（），

2x1=，3x12-6x1+4x0-1=0，

同理，，

则x1，x2是方程3x2-6x+4x0-1=0的两根，…（6分）

∴|NM|==，（-1＜x0＜1）…（10分）

则|MN|∈（0，）．…（12分）

解析

解：设A（-1，1），B（1，1），D（），（-1＜x0＜1），…（2分）

直线AD：y=（x0-1）x+x0，代入y=2-x2，

E（2-x0，-+4x0-2），G（1，），

设切点N（），M（），

2x1=，3x12-6x1+4x0-1=0，

同理，，

则x1，x2是方程3x2-6x+4x0-1=0的两根，…（6分）

∴|NM|==，（-1＜x0＜1）…（10分）

则|MN|∈（0，）．…（12分）

题型：简答题

简答题

已知曲线C上任意一点M到点F（1，0）的距离比它到直线l：x=-2的距离小1．

（1）求曲线C的方程；

（2）斜率为1的直线l过点F，且与曲线C交与A、B两点，求线段AB的长．

正确答案

解：（1）由已知条件知，

点M到F（1，0）的距离与它到直线l‘：x=-1的距离相等，

∴点M的轨迹C是以F为焦点，

l'为准线的抛物线，

∴曲线C的方程为y2=4x．…（4分）

（2）设交点A，B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），

则由抛物线的定义可得|AF|=dA=x1+1|BF|=dB=x2+1…（6分）

于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2

由条件知直线l方程为：y=x-1代入y2=4x，

得（x-1）2=4x

即 x2-6x+1=0∴x1+x2=6，

故|AB|=x1+x2+2=8．…（10分）

解析

解：（1）由已知条件知，

点M到F（1，0）的距离与它到直线l‘：x=-1的距离相等，

∴点M的轨迹C是以F为焦点，

l'为准线的抛物线，

∴曲线C的方程为y2=4x．…（4分）

（2）设交点A，B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），

则由抛物线的定义可得|AF|=dA=x1+1|BF|=dB=x2+1…（6分）

于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2

由条件知直线l方程为：y=x-1代入y2=4x，

得（x-1）2=4x

即 x2-6x+1=0∴x1+x2=6，

故|AB|=x1+x2+2=8．…（10分）

题型：简答题

简答题

已知抛物线D的顶点是椭圆Q：的中心O，焦点与椭圆Q的右焦点重合，点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2≠0）是抛物线D上的两个动点，且（Ⅰ）求抛物线D的方程及y1y2的值；

（Ⅱ）求线段AB中点轨迹E的方程；

（Ⅲ）求直线与曲线E的最近距离．

正确答案

解：（I）由题意，可设抛物线方程为y2=2px

由a2-b2=4-3=1⇒c=1．

∴抛物线的焦点为（1，0），∴p=2

∴抛物线方程为y2=4x（2分）

∵点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2≠0）是抛物线上的两个动点，

所以：y12=4x1，y22=4x2，

∴（y1y2）2=16x1x2．

∵

∴，

∴x1x2+y1y2=0．

∴=0⇒=0

∵y1y2≠0

∴y1y2=-16．

（Ⅱ）∵∴，

设OA：y=kx，OB：y=-x

由⇒A（）．同理可得B（4k2，-4k）

设AB的中点为（x，y），则由消去k，得y2=2x-8．（10分）

（Ⅲ）设与直线y=x平行的直线x-2y+m=0．

由题设可知直线x-2y+m=0应与曲线E：y2=2x-8相切

由消去x整理得：y2-4y+2m+8=0．

所以△=16-4（2m+8）=0⇒m=-2

∴直线y=x 与x-2y-2=0之间的距离即为直线与曲线E的最近距离．

所以所求距离为：d==

解析

解：（I）由题意，可设抛物线方程为y2=2px

由a2-b2=4-3=1⇒c=1．

∴抛物线的焦点为（1，0），∴p=2

∴抛物线方程为y2=4x（2分）

∵点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2≠0）是抛物线上的两个动点，

所以：y12=4x1，y22=4x2，

∴（y1y2）2=16x1x2．

∵

∴，

∴x1x2+y1y2=0．

∴=0⇒=0

∵y1y2≠0

∴y1y2=-16．

（Ⅱ）∵∴，

设OA：y=kx，OB：y=-x

由⇒A（）．同理可得B（4k2，-4k）

设AB的中点为（x，y），则由消去k，得y2=2x-8．（10分）

（Ⅲ）设与直线y=x平行的直线x-2y+m=0．

由题设可知直线x-2y+m=0应与曲线E：y2=2x-8相切

由消去x整理得：y2-4y+2m+8=0．

所以△=16-4（2m+8）=0⇒m=-2

∴直线y=x 与x-2y-2=0之间的距离即为直线与曲线E的最近距离．

所以所求距离为：d==

题型：简答题

简答题

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为B（0，-1），且其右焦点到直线的距离为3．

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在斜率为k（k≠0），且过定点的直线l，使l与椭圆交于两个不同的点M、N，且|BM|=|BN|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

正确答案

解：（1）设椭圆的方程为，由已知得b=1．

设右焦点为（c，0），由题意得，∴，

∴a2=b2+c2=3．

∴椭圆的方程为．

（2）直线l的方程y=kx+，代入椭圆方程，得

（1+3k2）x2+9kx+=0．

由△=81k2-15（1+3k2）＞0得，

设点M（x1，y1），N（x2，y2），

则，

设M、N的中点为P，则点P的坐标为．

∵|BM|=|BN|，∴点B在线段MN的中垂线上．

，化简，得．

∵，∴，

所以，存在直线l满足题意，直线l的方程为

或．

解析

解：（1）设椭圆的方程为，由已知得b=1．

设右焦点为（c，0），由题意得，∴，

∴a2=b2+c2=3．

∴椭圆的方程为．

（2）直线l的方程y=kx+，代入椭圆方程，得

（1+3k2）x2+9kx+=0．

由△=81k2-15（1+3k2）＞0得，

设点M（x1，y1），N（x2，y2），

则，

设M、N的中点为P，则点P的坐标为．

∵|BM|=|BN|，∴点B在线段MN的中垂线上．

，化简，得．

∵，∴，

所以，存在直线l满足题意，直线l的方程为

或．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

百度题库 > 高考 > 数学 > 直线与圆锥曲线的综合问题

扫码查看完整答案与解析