热门试卷

解：（Ⅰ）因为抛物线C1的焦点是F1（-1，0），

则，得a=2，则b=，

故椭圆C的方程为…（4分）

（II）当直线l的斜率不存在时，不符合题意，

故可设直线l：y=k（x-1），设D（x1，y1），E（x2，y2），由于2=，则：

，得（+）x2-k2x+-1=0，

则x1+x2=，①，x1x2=，②

将x2=3-2x1代入①②，得：

3-x1=，…③3x1-2x=，…④

由③、④得k=，

x1==，x2=3-2x1=-，…（10分）

（i）若k=-时，y1=-，

y2=-（--1）=，

即G（-，-），D（，-），，

直线GD的方程是y+=（x+）；

（ii）当k=时，同理可求直线GD的方程是

y-=-（x+）；…（12分）

解：（1）依题意，抛物线C1：x2=2py的焦点F的坐标为F（0，1），

则，

所以抛物线C1的方程为x2=4y，

由于|MF|=4，即|MP|+|PF|=4，

而线段MF1的垂直平分线与线段MF交于点P，

则|MP|=|PF1|，

因此，|PF1|+|PF|=4，

且4＞|FF1|=2，则点P的轨迹C2为以F1、F为焦点的椭圆，

设C2的方程为，

则2a=4，且a2-b2=1，解得a2=4，b2=3，

所求曲线C2的方程为

（2）若直线l的斜率不存在，

则直线，与抛物线C1及曲线C2均只有一个公共点，

若直线l斜率存在，设其方程为y=kx+m，

若l与抛物线C1及曲线C2均只有一个公共点，

则及均只有一组解，

由消去y得 x2-4kx-4m=0，

则△=16k2+16m=0①

由消去y得 （4+3k2）x2+6kmx+3m2-12=0，

则△=36k2m2-4（3m2-12）（3k2+4）=0，

即m2-3k2-4=0②

由①②得m=-4，k=±2，

即存在直线y=±2x-4与抛物线C1及曲线C2均只有一个公共点，

综上：存在四条直线，y=±2x-4与抛物线C1及曲线C2均只有一个公共点．

解：（1）=2，•=0

所以NP为线段AM的垂直平分线，|NA|=|NM|

|NC|+|NA|=|NC|+|MN|=2＞2=|CA|

所以动点N的轨迹是以C（-1，0），A（1，0）为焦点的椭圆，

且长轴长为2a=2，焦距2c=2，所以a=，c=1，b2=1

曲线E的方程为．

（2）设F（x1，y1）H（x2，y2），则由，消去y得

（2k2+1）x2+4kx+2k2=0，△=8k2＞0 （k≠0）

∴

=（k2+1）x1x2+k（x1+x2）+k2+1

=-=

∴⇒

∴k2的取值范围为[]

解：（1）由题设知双曲线上焦点为．

设直线AB的方程为．

当k=0时，A、B两点的横坐标分别为1和-1，

此时mn=1．

当代入双曲线方程，消去x得．（2分）由，解得k2＜1，（4分）

由双曲线的第二定义，知，（8分）

∴．

综上，知mn≥1．（10分）

（2）设直线AB的方程为，代入双曲线方程，消去y并整理得．

∴．（8分）

，

∴．

∴，①

．②

由①②，消去，

即③（12分）

由，

∴，即为所求．（14分）