直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

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直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：填空题

填空题

直线mx+ny-3=0与圆x2+y2=3没有公共点，若以（m，n）为点P的坐标，则过点P的一条直线与椭圆的公共点有______个．

正确答案

解析

解：将直线mx+ny-3=0变形代入圆方程x2+y2=3，消去x，得

（m2+n2）y2-6ny+9-3m2=0．令△＜0得，m2+n2＜3．

又m、n不同时为零，∴0＜m2+n2＜3．

由0＜m2+n2＜3，可知|n|＜，|m|＜，

再由椭圆方程a=，b=可知P（m，n）在椭圆内部，

∴过点P的一条直线与椭圆的公共点有2个．

故答案为2．

题型：单选题

单选题

过点A（2，-1）且被A平分的双曲线的弦所在的直线的方程为（　　）

Ax+2y=0

Bx-2y-4=0

C2x+y-3=0

D不存在

正确答案

解析

解：假设存在，两个交点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）

所以

两式相减得

所以直线的方程为x+2y=0，

由得：0=4

所以不存在

故选D．

题型：简答题

简答题

已知椭圆的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上，其右焦点到直线x-y+2=0的距离为3．

（1）求椭圆的方程；

（2）求证椭圆与直线y=x-2相切．

正确答案

（1）解：由题意设椭圆方程为+=1（a＞b＞0）．

∵b=1，又设右焦点F为（c，0），

则=3，解得c=，∴a=，

∴椭圆方程为+y2=1．

（2）证明：联立直线方程y=x-2，和椭圆方程+y2=1，

消去y得，x2+3x2-12x+12=3，整理得，4x2-12x+9=0，

显然判别式为122-4×4×9=0，

故椭圆与直线y=x-2相切．

解析

（1）解：由题意设椭圆方程为+=1（a＞b＞0）．

∵b=1，又设右焦点F为（c，0），

则=3，解得c=，∴a=，

∴椭圆方程为+y2=1．

（2）证明：联立直线方程y=x-2，和椭圆方程+y2=1，

消去y得，x2+3x2-12x+12=3，整理得，4x2-12x+9=0，

显然判别式为122-4×4×9=0，

故椭圆与直线y=x-2相切．

题型：填空题

填空题

设抛物线y2=2px（p为常数）的准线与X轴交于点K，过K的直线l与抛物线交于A、B两点，则=______．

正确答案

解析

解：如图所示，

设点A（x1，y1），B（x2，y2）．

设直线l：．

联立化为y2-2pmy+p2=0．

∵直线l与抛物线相交于不同两点，∴△＞0，化为m2＞1．

∴y1+y2=2pm，．

∴=x1x2+y1y2=+y1y2

=（m2+1）y1y2

=．

故答案为．

题型：简答题

简答题

如图：A1、A2是椭圆=1的左右顶点，F1（-c，0），F2（c，0）是椭圆的两个焦点，若，，则λ+μ=．

如果A是椭圆（a＞b＞0）上的任意一点，直线AF1、AF2分别和椭圆的交于分B、C两点，且，，那么λ1+λ2能否还为定值？若能，请给出证明，若不能，请说明理由．

正确答案

解：λ1+λ2为定值，下面给出证明：

设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）．

∴，，．（*）

∵，，

∴-c-x1=λ1（x2+c），-y1=λ1y2，

c-x1=λ2（x3-c），-y1=λ2y3．

∴，．

代入（*）可得：

=+=，

=，

∴两式相减可得：-，

代入上式之一可得：

λ1+λ2=．

解析

解：λ1+λ2为定值，下面给出证明：

设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）．

∴，，．（*）

∵，，

∴-c-x1=λ1（x2+c），-y1=λ1y2，

c-x1=λ2（x3-c），-y1=λ2y3．

∴，．

代入（*）可得：

=+=，

=，

∴两式相减可得：-，

代入上式之一可得：

λ1+λ2=．

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