直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

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直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：简答题

简答题

如图1，A（-1，0）、B（1，0）是椭圆的长轴上两点，C，D分别为椭圆的短轴和长轴的端点，P是CD上的动点，若的最大值与最小值分别为3、．

（1）求椭圆的离心率；

（2）如图2，点F（1，0），动点Q、R分别在抛物线y2=4x及椭圆的实线部分上运动，且QR∥x轴，求△FQR的周长l的取值范围．

正确答案

解：（1）设P（x1，y1），则，

∴，…（2分）

∵的最大值与最小值分别为3和，

∴x12+y12的最大值与最小值分别为4、，…（3分）

而x12+y12表示线段CD上的点到原点的距离OP的平方，

∴点OP的最大值为OD=2，

即a=2，…（5分）

OP的最小值即为O到线段CD的距离，

由平面几何知识得OC=，即，…（7分）

得，则椭圆的离心率=．…（9分）

（2）设R（x0，y0），

由抛物线的定义知QF等于点Q到抛物线准线x=1的距离，

∴RF+QR等于点R到抛物线准线x=1的距离为x0+1，…（11分）

由椭圆的第二定义知，

∴△NAB的周长l=x0+1=．…（13分）

由，

得：抛物线与椭圆交点的横坐标为，

即得．

所以△FQR的周长l的取值范围为．…（16分）

解析

解：（1）设P（x1，y1），则，

∴，…（2分）

∵的最大值与最小值分别为3和，

∴x12+y12的最大值与最小值分别为4、，…（3分）

而x12+y12表示线段CD上的点到原点的距离OP的平方，

∴点OP的最大值为OD=2，

即a=2，…（5分）

OP的最小值即为O到线段CD的距离，

由平面几何知识得OC=，即，…（7分）

得，则椭圆的离心率=．…（9分）

（2）设R（x0，y0），

由抛物线的定义知QF等于点Q到抛物线准线x=1的距离，

∴RF+QR等于点R到抛物线准线x=1的距离为x0+1，…（11分）

由椭圆的第二定义知，

∴△NAB的周长l=x0+1=．…（13分）

由，

得：抛物线与椭圆交点的横坐标为，

即得．

所以△FQR的周长l的取值范围为．…（16分）

题型：单选题

单选题

如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一定点，P是圆上任意一点．线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是（　　）

A椭圆

B圆

C双曲线

D直线

正确答案

解析

解：∵A为⊙O外一定点，P为⊙O上一动点

线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q，

则QA=QP，则QA-Q0=QP-QO=OP=R

即动点Q到两定点O、A的距离差为定值，

根据双曲线的定义，可知点Q的轨迹是：以O，A为焦点，OA为实轴长的双曲线

故选C．

题型：简答题

简答题

已知点是椭圆E：（a＞b＞0）上一点，F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF1⊥x轴．

（1）求椭圆E的方程；

（2）设A、B是椭圆E上两个动点，是否存在λ，满足（0＜λ＜4，且λ≠2），且M（2，1）到AB的距离为？若存在，求λ值；若不存在，说明理由．

正确答案

解：（1）∵PF1⊥x轴，

∴F1（-1，0），c=1，F2（1，0），

|PF2|=，2a=|PF1|+|PF2|=4，a=2，b2=3，

椭圆E的方程为：；（4分）

（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），由得

（x1+1，y1-）+（x2+1，y2-）=λ（1，-），

所以x1+x2=λ-2，y1+y2=（2-λ）①（5分）

又3x12+4y12=12，3x22+4y22=12，

两式相减得3（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0②

以①式代入可得AB的斜率k=（8分）

设直线AB的方程为y=x+t，

与3x2+4y2=12联立消去y并整理得x2+tx+t2-3=0，

△=3（4-t2）＞0，t∈（-2，2），x1+x2=-t=λ-2

点M到直线AB的距离为d=，∴（10分）

∵或不合题意．故这样的λ不存在（12分）

解析

解：（1）∵PF1⊥x轴，

∴F1（-1，0），c=1，F2（1，0），

|PF2|=，2a=|PF1|+|PF2|=4，a=2，b2=3，

椭圆E的方程为：；（4分）

（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），由得

（x1+1，y1-）+（x2+1，y2-）=λ（1，-），

所以x1+x2=λ-2，y1+y2=（2-λ）①（5分）

又3x12+4y12=12，3x22+4y22=12，

两式相减得3（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0②

以①式代入可得AB的斜率k=（8分）

设直线AB的方程为y=x+t，

与3x2+4y2=12联立消去y并整理得x2+tx+t2-3=0，

△=3（4-t2）＞0，t∈（-2，2），x1+x2=-t=λ-2

点M到直线AB的距离为d=，∴（10分）

∵或不合题意．故这样的λ不存在（12分）

题型：简答题

简答题

已知椭圆C：（a＞b＞0）过点A（），离心率为，斜率为k（k≠0）的直线l经过椭圆的上焦点F且与椭圆交于P、Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴交于点M（0，m），与x轴交于点N．

（1）求椭圆C的方程；

（2）求m的取值范围；

（3）记△MPQ，△NMF的面积分别为S1、S2，若S1=6S2，求直线l的方程．

正确答案

解：（1）由题意可得，∴a=，b=1，c=1

∴椭圆C的方程为；

（2）设l的方程为y=kx+1，代入椭圆方程可得（2+k2）x2+2kx-1=0

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=-，y1+y2=

∴PQ的中点坐标为（-，）

∴PQ的方程为①

令x=0可得m=，∴M（0，）

∵k≠0，∴m∈（0，）；

（3）在①中，令y=0可得：x=，∴

由（2）得，M（0，），|x1-x2|==

∴|x1-x2|=

∵S1=6S2

∴=

∴

∴k=±

∴l的方程为y=±x+1．

解析

解：（1）由题意可得，∴a=，b=1，c=1

∴椭圆C的方程为；

（2）设l的方程为y=kx+1，代入椭圆方程可得（2+k2）x2+2kx-1=0

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=-，y1+y2=

∴PQ的中点坐标为（-，）

∴PQ的方程为①

令x=0可得m=，∴M（0，）

∵k≠0，∴m∈（0，）；

（3）在①中，令y=0可得：x=，∴

由（2）得，M（0，），|x1-x2|==

∴|x1-x2|=

∵S1=6S2

∴=

∴

∴k=±

∴l的方程为y=±x+1．

题型：单选题

单选题

有一动圆P恒过定点F（1，0）且与y轴相交于点A、B，若△ABP为正角形，则圆心P的轨迹方程是（　　）

A-=1

B+=1

C+=1

D-=1

正确答案

解析

解：设圆心坐标（b，c），半径R，则圆的方程：（x-b）2+（y-c）2=R2

令y=0，则x=1，代入得：（1-b）2+c2=R2（*）

令x=0，得b2+（y-c）2=R2，解得y1=c+，y2=c-，

由题知，AB=R，即|y1-y2|=R，

∴2=R，化简得3R2=4b2

将（*）式代入，消去R得：3（1-b）2+3c2=4b2

将b换成x，c换成y，并化简得：（x+3）2-3y2=12

即P的轨迹方程为-=1．

故选：A．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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