直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

· 直线与圆锥曲线的综合问题

直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

热门试卷

X 查看更多试卷

题型：单选题

单选题

曲线C1的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ，曲线C2的参数方程为（t为参数），以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，则曲线C1上的点与曲线C2上的点最近的距离为（　　）

正确答案

解析

解：曲线C1的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ，普通方程为：y=x2，

曲线C2的参数方程为（t为参数），的普通方程为：x-y-2=0．

与直线平行的直线与抛物线相切时，切点到直线的距离最小，就是曲线C1上的点与曲线C2上的点最近的距离．

y′=2x，设切点为（a，b），∴2a=1，切点为（，）．

曲线C1上的点与曲线C2上的点最近的距离为：=．

故选：D．

题型：简答题

简答题

（2015秋•哈尔滨校级月考）已知焦点为（0，1），（0，-1）的椭圆C与直线l：y=-x+1交于 A，B两点，M为 A B的中点，直线 O M的斜率为2．焦点在y轴上的椭圆 E过定点（1，4），且与椭圆C有相同的离心率．过椭圆C上一点作直线y=kx+m（m≠0）交椭圆 E于 M，N两点．

（I）求椭圆C和椭圆 E的标准方程；

（II）求△OMN面积的最大值．

正确答案

解：（I）设椭圆C：+=1（a1＞b1＞0），

由题意可得c1=1，

将直线y=1-x代入椭圆C的方程，可得，（a12+b12）x2-2b12x+b12-a12b12=0，

即有x1+x2=，则中点M的坐标为（，），

由题意可得kOM==2，又a12-b12=1，解方程可得a12=2，b12=1，即有椭圆；

设椭圆E：+=1，由题意可得+=1，又e==，c22=a22-b22，

解方程可得a2=3，b2=3，即有椭圆；

（II）设（x0，y0）为椭圆C上一点，

可设x0=cosα，y0=sinα，0≤α＜2π，

由直线y=kx+m过（x0，y0），可得m=kx0-y0=kcosα-sinα，可得|m|≤，

由y=kx+m代入椭圆E的方程，可得（2+k2）x2+2kmx+m2-18=0，

可得x1+x2=-，x1x2=，

∴|MN|=•，

O到直线y=kx+m的距离d=，即有△OMN的面积为S=d•|MN|=|m|•，

由S2=-=-2（-）2+，

由m2≤2+k2，可得≤1，

即有S2的最大值为-2（1-）2+=16，

则△OMN的面积的最大值为4．

解析

解：（I）设椭圆C：+=1（a1＞b1＞0），

由题意可得c1=1，

将直线y=1-x代入椭圆C的方程，可得，（a12+b12）x2-2b12x+b12-a12b12=0，

即有x1+x2=，则中点M的坐标为（，），

由题意可得kOM==2，又a12-b12=1，解方程可得a12=2，b12=1，即有椭圆；

设椭圆E：+=1，由题意可得+=1，又e==，c22=a22-b22，

解方程可得a2=3，b2=3，即有椭圆；

（II）设（x0，y0）为椭圆C上一点，

可设x0=cosα，y0=sinα，0≤α＜2π，

由直线y=kx+m过（x0，y0），可得m=kx0-y0=kcosα-sinα，可得|m|≤，

由y=kx+m代入椭圆E的方程，可得（2+k2）x2+2kmx+m2-18=0，

可得x1+x2=-，x1x2=，

∴|MN|=•，

O到直线y=kx+m的距离d=，即有△OMN的面积为S=d•|MN|=|m|•，

由S2=-=-2（-）2+，

由m2≤2+k2，可得≤1，

即有S2的最大值为-2（1-）2+=16，

则△OMN的面积的最大值为4．

题型：简答题

简答题

已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，以抛物线y2=16x的焦点为其中一个焦点，以双曲线=1的焦点为顶点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若E，F是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上任意一点，则当直线PE，PF的斜率都存在，并记为kPE、kPF时，kPE•kPF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

正确答案

解：（1）由抛物线y2=16x的焦点为（4，0），可得c=4，

∴可设椭圆的标准方程为+=1，

双曲线=1的焦点（±5，0）为顶点，

即有a=5，

∴b2=25-16=9，

故椭圆的标准方程为+=1．

（2）设E、F是椭圆上关于原点对称点，设E（m，n），则F（-m，-n），

设P点坐标为（x，y），则+=1，+=1．

两式相减可得，+=0，

即为=-，

又kPE=，kPF=，

则kPE•kPF==-，

∴kPE•kPF为定值，且为-．

解析

解：（1）由抛物线y2=16x的焦点为（4，0），可得c=4，

∴可设椭圆的标准方程为+=1，

双曲线=1的焦点（±5，0）为顶点，

即有a=5，

∴b2=25-16=9，

故椭圆的标准方程为+=1．

（2）设E、F是椭圆上关于原点对称点，设E（m，n），则F（-m，-n），

设P点坐标为（x，y），则+=1，+=1．

两式相减可得，+=0，

即为=-，

又kPE=，kPF=，

则kPE•kPF==-，

∴kPE•kPF为定值，且为-．

题型：填空题

填空题

以抛物线的焦点F为右焦点，且两条渐近线是的双曲线方程为______．

正确答案

解析

解：设双曲线方程为：，

由双曲线渐近线方程可知 ①

因为抛物线的焦点为（2，0），所以c=2②

又c2=a2+b2③

联立①②③，解得a2=9，b2=3，

所以双曲线的方程为．

故答案为：．

题型：简答题

简答题

已知焦点在x轴上的土元D：+=1，的离心率为，F1，F2分别为左、右焦点，过点P（3，0）作直线交椭圆D于A，B（B在P，A两点之间）两点，且F1A∥F2B，A关于原点O的对称点C．

（1）求椭圆D的方程；

（2）求直线PA的方程；

（3）过F2任作一直线交过A，F1，C三点的圆于E，F两点，求△OEF面积的取值范围．

正确答案

解：（1）∵椭圆D：+=1的离心率为，∴，解得：m=2．

∴椭圆的方程为：；

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B的坐标满足方程组，

把②代入①得：（2+3k2）x2-18k2x+27k2-6=0．

∴．

∵F1A∥F2B，∴，，

∴（x1-3，y1）=2（x2-3，y2），即x1-2x2=-3．

解，得，

代入，得，即．

∴直线PA的方程为：；

（3）由（2）知x1=0，即A（0，）（或A（0，-）），

∵A与C关于原点对称，∴C（0，-）（或C（0，）），

设过A，F1，C三点的圆为x2+y2+Dx+Ey+F=0，

则，解得．

∴圆的方程为x2+y2-x-2=0．

设过F2的直线EF为x=ny+1，则．

原点O到直线EF的距离为d=．

∴．

令1+n2=t，则t≥1，0．

∴S△OEF=．

∴．

解析

解：（1）∵椭圆D：+=1的离心率为，∴，解得：m=2．

∴椭圆的方程为：；

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B的坐标满足方程组，

把②代入①得：（2+3k2）x2-18k2x+27k2-6=0．

∴．

∵F1A∥F2B，∴，，

∴（x1-3，y1）=2（x2-3，y2），即x1-2x2=-3．

解，得，

代入，得，即．

∴直线PA的方程为：；

（3）由（2）知x1=0，即A（0，）（或A（0，-）），

∵A与C关于原点对称，∴C（0，-）（或C（0，）），

设过A，F1，C三点的圆为x2+y2+Dx+Ey+F=0，

则，解得．

∴圆的方程为x2+y2-x-2=0．

设过F2的直线EF为x=ny+1，则．

原点O到直线EF的距离为d=．

∴．

令1+n2=t，则t≥1，0．

∴S△OEF=．

∴．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

百度题库 > 高考 > 数学 > 直线与圆锥曲线的综合问题

扫码查看完整答案与解析