- 直线与圆锥曲线的综合问题
- 共2643题
已知一个椭圆中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，短轴的一个顶点B与两个焦点F1，F2组成的三角形的周长为4+2
（1）求这个椭圆的方程；
（2）斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点，求|AB|的最大值．
正确答案
解：（1）设长轴长为2a，焦距为2c，
则在三角形F2OB中，由∠F2BO=
得c=
则a=2，c=
故所求的椭圆方程为：
（2）设直线l：y=x+t，代入椭圆方程，消去y，得，
由题意得，△=（2t）2-5（t2-1）＞0，即t2＜5，x1+x2=-
弦长|AB|=
=4
当且仅当t=0时，取最大值为
解析
解：（1）设长轴长为2a，焦距为2c，
则在三角形F2OB中，由∠F2BO=
得c=
则a=2，c=
故所求的椭圆方程为：
（2）设直线l：y=x+t，代入椭圆方程，消去y，得，
由题意得，△=（2t）2-5（t2-1）＞0，即t2＜5，x1+x2=-
弦长|AB|=
=4
当且仅当t=0时，取最大值为
（2015秋•大连校级月考）已知椭圆的中心是坐标原点O，它的短轴长为2
（1）求椭圆的方程和离心率；
（2）如果OP⊥OQ，求直线PQ的方程．
正确答案
解：（1）由题意知，b=
由
∴a2=b2+c2=6，
∴椭圆的方程为
离心率为
（2）A（3，0），
设直线PQ的方程为y=k（x-3），
联立
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则
由OP⊥OQ，得x1x2+y1y2=0，
即
解得：k=
∴直线PQ的方程为
解析
解：（1）由题意知，b=
由
∴a2=b2+c2=6，
∴椭圆的方程为
离心率为
（2）A（3，0），
设直线PQ的方程为y=k（x-3），
联立
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则
由OP⊥OQ，得x1x2+y1y2=0，
即
解得：k=
∴直线PQ的方程为
如果双曲线与椭圆
正确答案
解析
解：椭圆
∵双曲线与椭圆
∴双曲线的焦点坐标为（0，±3）
∵双曲线经过点
∴2a=|
∴a=2
∴b2=9-4=5
∴双曲线的方程是
故答案为：
已知双曲线C：
（1）求双曲线C的方程；
（2）设F（c，0）是双曲线C的右焦点，M（x0，y0）是双曲线C的右支上的任意一点，试判断以MF为直径的圆与以双曲线实轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
正确答案
解：（1）∵双曲线C：
∵双曲线C的渐近线bx±ay=0与圆x2+（y-3）2=4相切，
所以圆心（0，3）到直线bx±ay=0的距离等于2，
即
联立①与②，解得
∴双曲线C的方程为
（2）由（1）得，
设双曲线C的左焦点为F′（-3，0），因为点M在双曲线C的右支上，
所以|MF′|-|MF|=4，即
所以即
因为以双曲线C的实轴为直径的圆的圆心为（0，0），半径为r1=2；
以MF为直径的圆的圆心为
所以两圆圆心之间的距离为
因为
∴以MF为直径的圆与以双曲线实轴为直径的圆外切．
解析
解：（1）∵双曲线C：
∵双曲线C的渐近线bx±ay=0与圆x2+（y-3）2=4相切，
所以圆心（0，3）到直线bx±ay=0的距离等于2，
即
联立①与②，解得
∴双曲线C的方程为
（2）由（1）得，
设双曲线C的左焦点为F′（-3，0），因为点M在双曲线C的右支上，
所以|MF′|-|MF|=4，即
所以即
因为以双曲线C的实轴为直径的圆的圆心为（0，0），半径为r1=2；
以MF为直径的圆的圆心为
所以两圆圆心之间的距离为
因为
∴以MF为直径的圆与以双曲线实轴为直径的圆外切．
过椭圆
A
B
C
D
正确答案
解析
解：设过点P的弦与椭圆交于A1（x1，y1），A2（x2，y2）两点，则x1+x2=4，y1+y2=-2，
∵
∴两式相减并代入x1+x2=4，y1+y2=-2，可得
∴kA1A2=
∴弦所在直线方程为y+1=
即y=
故选B．
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