- 直线与圆锥曲线的综合问题
- 共2643题
已知双曲线
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵抛物线y2=4cx的准线：x=-c，
它正好经过双曲线
∴准线被双曲线C截得的弦长为：2
∴2
即：
∴解得：e=
又过焦点且斜率为1的直线与双曲线C的左右两支各有一个交点，
∴e=
故选B．
已知l1、l2是过点P（-
（1）求l1的斜率k1的取值范围；
（2）若|A1B1|=
正确答案
解：（1）显然l1、l2斜率都存在，否则l1、l2与曲线不相交．设l1的斜率为k1，则l1的方程为y=k1（x+
联立得y=k1（x+
消去y得
（k12-1）x2+2
根据题意得k12-1≠0，②
△1＞0，即有12k12-4＞0．③
完全类似地有
△2＞0，即有12•
从而k1∈（-
（2）由弦长公式得
|A1B1|=
完全类似地有
|A2B2|=
∵|A1B1|=
∴k1=±
l1：y=
解析
解：（1）显然l1、l2斜率都存在，否则l1、l2与曲线不相交．设l1的斜率为k1，则l1的方程为y=k1（x+
联立得y=k1（x+
消去y得
（k12-1）x2+2
根据题意得k12-1≠0，②
△1＞0，即有12k12-4＞0．③
完全类似地有
△2＞0，即有12•
从而k1∈（-
（2）由弦长公式得
|A1B1|=
完全类似地有
|A2B2|=
∵|A1B1|=
∴k1=±
l1：y=
若直线mx+ny=4和⊙O：x2+y2=4相交，则点P（m，n）与椭圆C：
正确答案
解析
解：∵直线mx+ny=4和⊙O：x2+y2=4相交，∴圆心（0，0）到直线的距离d＜r．
∴
∴m2＞4-n2．
∵
∴点P（m，n）在椭圆C：
故选：C．
已知圆P：x2+y2=4y及抛物线S：x2=8y，过圆心P作直线l，此直线与上述两曲线的四个交点，自左向右顺次记为A，B，C，D，如果线段AB，BC，CD的长按此顺序构成一个等差数列，则直线l的斜率为______．
正确答案
±
解析
解：∵圆P：x2+y2=4y，
∴x2+（y-2）2=4．
圆心P（0，2），半径r=2，BC=4．
∵线段AB，BC，CD的长按此顺序构成一个等差数列，
∴AB+CD=BC，
∴AB+BC+CD=3BC，
∴AD=12．
设直线l的方程为：y=kx+2，
由
由弦长公式知：AD=
∴8（k2+1）=12．
∴k=±
已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为
（1）求椭圆的方程；
（2）设过右焦点F且与坐标轴不垂直的直线l交椭圆于P、Q两点，在线段OF上是否存在点M（m，0），使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
正确答案
解：（1）由题意设此椭圆的方程为
则
（2）假设存在点M（m，0）（0＜m＜1）满足条件，使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形，因为直线与x轴不垂直，
所以直线l的方程可设为y=k（x-1）（k≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2）．
由
由△＞0恒成立，∴
∵以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形，∴|MQ|=|MP|，
∴
化为
把（*）代入上式得
化为
∵k2＞0，∴
解析
解：（1）由题意设此椭圆的方程为
则
（2）假设存在点M（m，0）（0＜m＜1）满足条件，使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形，因为直线与x轴不垂直，
所以直线l的方程可设为y=k（x-1）（k≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2）．
由
由△＞0恒成立，∴
∵以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形，∴|MQ|=|MP|，
∴
化为
把（*）代入上式得
化为
∵k2＞0，∴
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