直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

热门试卷

题型：简答题

简答题

如图，F1，F2为椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率e=，．若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点N（，）称为点M的一个“椭点”．直线l与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“椭点”分别为P，Q，已知以PQ为直径的圆经过坐标原点O．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）△AOB的面积是否为定值？若为定值，试求出该定值；若不为定值，请说明理由．

正确答案

解：（1）∵椭圆C：（a＞b＞0）的离心率e=，，

∴=①，（a-c）b=1-②，又a2=b2+c2③．

由①②③组成方程组，解得a2=4，b2=1．

∴椭圆C的标准方程为．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则P，Q．

∵，∴=．（*）

设直线l的方程为my+t=x，联立，化为（4+m2）y2+2mty+t2-4=0，

∵直线l与椭圆相交于两点，∴△=4m2t2-4（4+m2）（t2-4）＞0，化为m2+4＞t2．（**）

∴，，

∴x1x2=（my1+t）（my2+t）=，

代入（*）可得．

∴，

∴，代入（**）知成立．

|AB|===．

点O到直线AB的距离d=．

又S△AOB==1为定值．

解析

解：（1）∵椭圆C：（a＞b＞0）的离心率e=，，

∴=①，（a-c）b=1-②，又a2=b2+c2③．

由①②③组成方程组，解得a2=4，b2=1．

∴椭圆C的标准方程为．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则P，Q．

∵，∴=．（*）

设直线l的方程为my+t=x，联立，化为（4+m2）y2+2mty+t2-4=0，

∵直线l与椭圆相交于两点，∴△=4m2t2-4（4+m2）（t2-4）＞0，化为m2+4＞t2．（**）

∴，，

∴x1x2=（my1+t）（my2+t）=，

代入（*）可得．

∴，

∴，代入（**）知成立．

|AB|===．

点O到直线AB的距离d=．

又S△AOB==1为定值．

题型：简答题

简答题

如图所示，过点M（m，1）作直线AB交抛物线x2=y于A，B两点，且|AM|=|MB|，过M作x轴的垂线交抛物线于点C．连接AC，BC，记三角形ABC的面积为S△，记直线AB与抛物线所围成的阴影区域的面积为S弓．

（1）求m的取值范围；

（2）当S△最大时，求m的值；

（3）是否存在常数λ，使得？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

正确答案

解：（1）由题意，直线AB的斜率存在，设AB直线方程为y=k（x-m）+1

代入抛物线方程x2=y得，x2-kx+mk-1=0（*）

设A（x1，y1），B（x2，y2）

因为M是AB的中点，所以，即k=2m

方程（*）即为：x2-2mx+2m2-1=0（**）

由△=4m2-8m2+4＞0得-1＜m＜1

所以m的取值范围是（-1，1）；…4‘

（2）因为M（m，1），C（m，m2），MC⊥x轴，所以|MC|=1-m2，

由方程（**）得

所以S△=SACM+SBCM==

==≤1

所以当S△最大时，m=0；…8'

（3）常数λ存在且

不妨设x1＜x2

=====

由方程（**）得，

代入上式化简得

由（2）知S△=，所以

所以常数λ存在且…13'

解析

解：（1）由题意，直线AB的斜率存在，设AB直线方程为y=k（x-m）+1

代入抛物线方程x2=y得，x2-kx+mk-1=0（*）

设A（x1，y1），B（x2，y2）

因为M是AB的中点，所以，即k=2m

方程（*）即为：x2-2mx+2m2-1=0（**）

由△=4m2-8m2+4＞0得-1＜m＜1

所以m的取值范围是（-1，1）；…4‘

（2）因为M（m，1），C（m，m2），MC⊥x轴，所以|MC|=1-m2，

由方程（**）得

所以S△=SACM+SBCM==

==≤1

所以当S△最大时，m=0；…8'

（3）常数λ存在且

不妨设x1＜x2

=====

由方程（**）得，

代入上式化简得

由（2）知S△=，所以

所以常数λ存在且…13'

题型：单选题

单选题

如图，已知抛物线的方程为x2=2py（p＞0），过点A（0，-1）作直线与抛物线相交于P，Q两点，点B的坐标为（0，1），连接BP，BQ，设QB，BP与x轴分别相交于M，N两点．如果QB的斜率与PB的斜率的乘积为-3，则∠MBN的大小等于（　　）

正确答案

解析

解：设直线PQ的方程为：y=kx-1，P（x1，y1），Q（x2，y2），

由得x2-2pkx+2p=0，△＞0，

则x1+x2=2pk，x1x2=2p，

，，

===0，即kBP+kBQ=0①

又kBP•kBQ=-3②，

联立①②解得，，

所以，，

故∠MBN=π-∠BNM-∠BMN=，

故选D．

题型：单选题

单选题

直线y=x+b与曲线有两个不同的公共点，则实数b∈（　　）

B（-5，5）

正确答案

解析

解：∵

∴（y≥0）即表示以F1（-，0），F2（，0）为焦点的上半个椭圆，

结合图象可知直线应介于图中两平行线的位置满足条件

当直线过左顶点（-2，0）时b=2

当直线与椭圆相切时，设切点为（m，）

切线的斜率为1=f′（m）=解得m=-4

∴切点为（-4，1），而切点在直线y=x+b上，则b=5

∴直线y=x+b与曲线有两个不同的公共点，则实数b∈[2，5）

故选D．

题型：填空题

填空题

已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为y轴，且与圆x2+y2=4相交的公共弦长等于，则此抛物线的方程为______．

正确答案

x2=±3y

解析

解：由题意，开口向上时，设抛物线方程为x2=2py（p＞0）

∵抛物线与圆x2+y2=4相交的公共弦长等于，

∴弦的端点的坐标为（±，1）

代入抛物线方程可得2p=3，∴抛物线方程为x2=3y

同理可得开口向下时，设抛物线方程为x2=-2py（p＞0）

∵抛物线与圆x2+y2=4相交的公共弦长等于，

∴弦的端点的坐标为（±，-1）

代入抛物线方程可得2p=3，∴抛物线方程为x2=-3y

故答案为：x2=±3y．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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