直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

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直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：填空题

填空题

已知点P（x，y）满足椭圆方程2x2+y2=1，则的最大值为______．

正确答案

解析

解：设k=，则y=k（x-1），代入椭圆方程2x2+y2=1，

可得2x2+[k（x-1）]2=1，整理可得（2+k2）x2-2kx+k2-1=0，

∴△=（-2k）2-4（2+k2）（k2-1）=-4k4+8=0，

可得k=±，

∴的最大值为．

故答案为：．

题型：简答题

简答题

（1）双曲线的中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐近线方程，右焦点F（5，0），求双曲线方程；

（2）若抛物线x=y2的准线经过F点且椭圆C经过P（2，3），求此时椭圆C的方程．

正确答案

解：（1）依题意可设双曲线方程为：，则

∴a=3，b=4

∴所求双曲线方程为；

（2）依题意知F（-2，0），即c=2，

由椭圆定义知：2a=+=8

∴a=4，∴b2=a2-c2=12，即椭圆C的方程为：

解析

解：（1）依题意可设双曲线方程为：，则

∴a=3，b=4

∴所求双曲线方程为；

（2）依题意知F（-2，0），即c=2，

由椭圆定义知：2a=+=8

∴a=4，∴b2=a2-c2=12，即椭圆C的方程为：

题型：单选题

单选题

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，与双曲线x2-y2=1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（　　）

A+=1

B+=1

C+=1

D+=1

正确答案

解析

解：由题意，双曲线x2-y2=1的渐近线方程为y=±x

∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，故边长为4，

∴（2，2）在椭圆C：+=1（a＞b＞0）上

∴

又∵

∴

∴a2=4b2

∴a2=20，b2=5

∴椭圆方程为：+=1

故选D．

题型：简答题

简答题

已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点P（x1，y1）是椭圆上任意一点，且|PF1|+|PF2|=4，椭圆的离心率e=

（I）求椭圆E的标准方程；

（II）直线PF1交椭圆E于另一点Q（x1，y2），椭圆右顶点为A，若=3，求直线PF1的方程；

（III）过点M（，0）作直线PF1的垂线，垂足为N，当x1变化时，线段PN的长度是否为定值？若是，请写出这个定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

正确答案

解：（Ⅰ）由|PF1|+|PF2|=4，得2a=4，所以a=2，

又e==，则c=1，所以b2=a2-c2=4-1=3．

所以所求的椭圆E的方程为；

（Ⅱ）由椭圆方程知F1（-1，0），A（2，0）．

当PF1与x轴垂直时，直线方程为x=-1，代入椭圆方程解得，．

≠3．

所以直线PF1的斜率存在且不为0，设斜率为k，

则直线PF1的方程为y=k（x+1）．

由，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0．

，．

由=（x1-2，y1）•（x2-2，y2）=3，

得

所以

=．

即9k2=3+4k2，所以k=．

所以直线PF1的方程为；

（Ⅲ）PN的长度为定值．

当PF1的斜率不存在时，即x1=-1时，F1与N重合，此时|PN|=．

当PF1的斜率存在时，即x1≠-1时，斜率k=．

故直线PF1的方程为，即y1x-（x1+1）y+y1=0．

又M（），所以

又，所以，

从而|MN|2=

=．

又|PM|2==，

所以|PN|2=|PM|2-|MN|2=3-，所以|PN|=．

解析

解：（Ⅰ）由|PF1|+|PF2|=4，得2a=4，所以a=2，

又e==，则c=1，所以b2=a2-c2=4-1=3．

所以所求的椭圆E的方程为；

（Ⅱ）由椭圆方程知F1（-1，0），A（2，0）．

当PF1与x轴垂直时，直线方程为x=-1，代入椭圆方程解得，．

≠3．

所以直线PF1的斜率存在且不为0，设斜率为k，

则直线PF1的方程为y=k（x+1）．

由，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0．

，．

由=（x1-2，y1）•（x2-2，y2）=3，

得

所以

=．

即9k2=3+4k2，所以k=．

所以直线PF1的方程为；

（Ⅲ）PN的长度为定值．

当PF1的斜率不存在时，即x1=-1时，F1与N重合，此时|PN|=．

当PF1的斜率存在时，即x1≠-1时，斜率k=．

故直线PF1的方程为，即y1x-（x1+1）y+y1=0．

又M（），所以

又，所以，

从而|MN|2=

=．

又|PM|2==，

所以|PN|2=|PM|2-|MN|2=3-，所以|PN|=．

题型：填空题

填空题

与椭圆有相同的焦点且以y=为渐近线的双曲线方程为______．

正确答案

解析

解：∵椭圆的焦点为（5，0）（-5，0），

故双曲线中的c=5，且满足

∴

所以双曲线的方程为．

故答案为：．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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