直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

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直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：填空题

填空题

椭圆的弦AB的中点为，则弦AB所在直线的方程是______．

正确答案

x+2y-2=0

解析

解：设A（x1，y1），B（x2，y2），

∵弦AB的中点为，

∴弦AB的斜率存在．

x1+x2=2，y1+y2=1．

把A，B的坐标代入椭圆，得：

①

②

①-②得：，

即．

∴．

弦AB所在直线的方程是，

整理得：x+2y-2=0．

故答案为：x+2y-2=0．

题型：简答题

简答题

如图，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）求•的最小值，并求此时圆T的方程．

正确答案

解：（1）依题意，得a=2，，∴；

故椭圆C的方程为．

（2）点M与点N关于x轴对称，故设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，-sinθ），

不妨设sinθ＞0，由已知T（-2，0），

则•=（2cosθ+2，sinθ）•（2cosθ+2，-sinθ）=（2cosθ+2）2-sin2θ=5cos2θ+8cosθ+3

=5-．

故当cosθ=-时，•取得最小值为-，此时M（-，），

又点M在圆T上，代入圆的方程得到r2=．

故圆：（x+2）2+y2=．

解析

解：（1）依题意，得a=2，，∴；

故椭圆C的方程为．

（2）点M与点N关于x轴对称，故设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，-sinθ），

不妨设sinθ＞0，由已知T（-2，0），

则•=（2cosθ+2，sinθ）•（2cosθ+2，-sinθ）=（2cosθ+2）2-sin2θ=5cos2θ+8cosθ+3

=5-．

故当cosθ=-时，•取得最小值为-，此时M（-，），

又点M在圆T上，代入圆的方程得到r2=．

故圆：（x+2）2+y2=．

题型：填空题

填空题

若双曲线-=1（a＞0，b＞0）与直线y=x无交点，则离心率e的取值范围是______．

正确答案

（1，2]

解析

解：∵双曲线-=1（a＞0，b＞0）与直线y=x无交点，取双曲线的渐近线．

∴，

∴=2．

∴双曲线离心率e的取值范围是（1，2]．

故答案为（1，2]．

题型：简答题

简答题

点M（4，m）m＞0为抛物线y2=2px（p＞0）上一点，F为其焦点，已知|FM|=5，

（1）求m与p的值；

（2）若直线L过抛物线的焦点，与抛物线交与A、B两点，且倾斜角为60°，求弦AB的长．

正确答案

解：（1）由抛物线定义可知，|FM|==5，∴p=2．

则抛物线方程为：y2=4x，把M（4，m）m＞0代入抛物线方程得：

m2=16（m＞0），解得：m=4．

∴m=4，p=2；

（2）∵直线L倾斜角为60°，

∴其斜率为，又抛物线的焦点坐标为（1，0），

则直线L的方程为：y-0=．

联立，得：3x2-10x+3=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2）．

则．

∴|AB|=．

解析

解：（1）由抛物线定义可知，|FM|==5，∴p=2．

则抛物线方程为：y2=4x，把M（4，m）m＞0代入抛物线方程得：

m2=16（m＞0），解得：m=4．

∴m=4，p=2；

（2）∵直线L倾斜角为60°，

∴其斜率为，又抛物线的焦点坐标为（1，0），

则直线L的方程为：y-0=．

联立，得：3x2-10x+3=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2）．

则．

∴|AB|=．

题型：简答题

简答题

已知P是直线l：y=2x-8上的动点，过P作抛物线x2=4y的两条切线，A，B为切点．

（Ⅰ）求证：直线AB过定点；

（Ⅱ）抛物线上是否存在定点C，使AC⊥BC，若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

正确答案

（Ⅰ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），两条切线分别为l1，l2，

则有l1：xx1=2（y+y1），l2：xx2=2（y+y2）

设P（a，2a-8），则有ax1=2（2a-8+y1），ax2=2（2a-8+y2）

∴ax1-2y1-2（2a-8）=0，ax2-2y2-2（2a-8）=0

∴（x1，y1），（x2，y2）都是方程ax-2y-2（2a-8）=0的解

∴直线AB的方程为：ax-2y-2（2a-8）=0

即（x-4）a-2y+16=0，∴x=4，y=8

∴直线AB过定点（4，8）；

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，AB的方程为：ax-2y-2（2a-8）=0，即y=+2a-8

代入抛物线方程可得x2-2ax+8a-32=0

∴x1+x2=2a，x1x2=8a-32

设C（m，n），则AC⊥BC时，（m-x1，n-y1）•（m-x2，n-y2）=0

∴m2-m（x1+x2）+x1x2+n2-n（y1+y2）+y1y2=0

∴m2-2ma+8a-32+n2-n（a2-4a+16）+4a2-32a+64=0

∴（4-n）a2-（2m-4n+24）a+m2+n2-16n+32=0

∵a∈R，∴

∴m=-4，n=4

∴抛物线上存在定点C（-4，4），使AC⊥BC．

解析

（Ⅰ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），两条切线分别为l1，l2，

则有l1：xx1=2（y+y1），l2：xx2=2（y+y2）

设P（a，2a-8），则有ax1=2（2a-8+y1），ax2=2（2a-8+y2）

∴ax1-2y1-2（2a-8）=0，ax2-2y2-2（2a-8）=0

∴（x1，y1），（x2，y2）都是方程ax-2y-2（2a-8）=0的解

∴直线AB的方程为：ax-2y-2（2a-8）=0

即（x-4）a-2y+16=0，∴x=4，y=8

∴直线AB过定点（4，8）；

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，AB的方程为：ax-2y-2（2a-8）=0，即y=+2a-8

代入抛物线方程可得x2-2ax+8a-32=0

∴x1+x2=2a，x1x2=8a-32

设C（m，n），则AC⊥BC时，（m-x1，n-y1）•（m-x2，n-y2）=0

∴m2-m（x1+x2）+x1x2+n2-n（y1+y2）+y1y2=0

∴m2-2ma+8a-32+n2-n（a2-4a+16）+4a2-32a+64=0

∴（4-n）a2-（2m-4n+24）a+m2+n2-16n+32=0

∵a∈R，∴

∴m=-4，n=4

∴抛物线上存在定点C（-4，4），使AC⊥BC．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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