- 直线与圆锥曲线的综合问题
- 共2643题
已知椭圆：
正确答案
解析
解：根据已知得F1（-c，0），F2（c，0），椭圆的短轴的端点坐标为（0，b）
因为抛物线以F1为顶点，F2为焦点，
所以抛物线的准线方程为x=-3c
又抛物线的定义得到
即b2=8c2
即8a2=9b2
所以a：b=
故答案为
椭圆x2+4y2=16被直线y=
正确答案
解析
解：将直线y=
设直线与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）．
∴x1+x2=-2，x1x2=-6
∴椭圆被直线截得的弦长为AB=
故答案为：
已知双曲线
（1）求双曲线C的方程；
（2）记O为坐标原点，过点Q （0，2）的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为
正确答案
解：（1）由已知
所以，双曲线方程为x2-y2=a2，
又点
解得a2=2，b2=2，
所以，双曲线C的方程为
（2）由题意直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y=kx+2
由
设直线l与双曲线C交于E（x1，y1）、F（x2，y2），则x1、x2是上方程的两不等实根，
∴1-k2≠0，且△=16k2+24（1-k2）＞0，即k2＜3且k2≠1①，
这时 
又
即 
整理得3-k2=（k2-1）2，即k4-k2-2=0，∴（k2+1）（k2-2）=0
又k2+1＞0，∴k2-2=0，∴
所以，直线l的方程为
解析
解：（1）由已知
所以，双曲线方程为x2-y2=a2，
又点
解得a2=2，b2=2，
所以，双曲线C的方程为
（2）由题意直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y=kx+2
由
设直线l与双曲线C交于E（x1，y1）、F（x2，y2），则x1、x2是上方程的两不等实根，
∴1-k2≠0，且△=16k2+24（1-k2）＞0，即k2＜3且k2≠1①，
这时
又
即
整理得3-k2=（k2-1）2，即k4-k2-2=0，∴（k2+1）（k2-2）=0
又k2+1＞0，∴k2-2=0，∴
所以，直线l的方程为
已知直线l：y=2x-2与抛物线M：y=x2的切线m平行
（Ⅰ）求切线m的方程和切点A的坐标
（Ⅱ）若点P是直线l上的一个动点，过点P作抛物线M的两条切线，切点分别为B，C，同时分别与切线m交于点E，F试问
正确答案
解：（Ⅰ）设切点
∴2x0=2，x0=1
∴A（1，1），切线m的方程为y=2x-1；
（Ⅱ）设P（s，t），切点
∵y′=2x，
∴切线PB，PC的方程分别是y=2x1x
联立方程组
∵点P在直线l：y=2x-2上，即t=2s-2，2s-t=2
又∵直线BC的方程为y=（x1+x2）x-x1x2=2sx-t
∴点A（1，1）到直线BC的距离
又由
∴
∴
联立方程组
联立方程组
∴
∴
解析
解：（Ⅰ）设切点
∴2x0=2，x0=1
∴A（1，1），切线m的方程为y=2x-1；
（Ⅱ）设P（s，t），切点
∵y′=2x，
∴切线PB，PC的方程分别是y=2x1x
联立方程组
∵点P在直线l：y=2x-2上，即t=2s-2，2s-t=2
又∵直线BC的方程为y=（x1+x2）x-x1x2=2sx-t
∴点A（1，1）到直线BC的距离
又由
∴
∴
联立方程组
联立方程组
∴
∴
已知双曲线C的两个焦点分别为
（Ⅰ）求双曲线的标准方程；
（Ⅱ）若直线y=kx-1与双曲线C没有公共点，求实数k的取值范围．
正确答案
解：（I）设双曲线的标准方程为
∵双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于4，∴2a=4，解得a=2．
又c=
∴双曲线的标准方程为
（II）联立
①当1-k2=0时，即k=±1时，上式化为±2x-5=0，直线与双曲线分别有一个交点，不符合题意，应舍去；
②当1-k2≠0时，即k≠±1时，△=4k2-4×（-5）×（1-k2）＜0，解得
综上可知：直线y=kx-1与双曲线C没有公共点时实数k的取值范围是
解析
解：（I）设双曲线的标准方程为
∵双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于4，∴2a=4，解得a=2．
又c=
∴双曲线的标准方程为
（II）联立
①当1-k2=0时，即k=±1时，上式化为±2x-5=0，直线与双曲线分别有一个交点，不符合题意，应舍去；
②当1-k2≠0时，即k≠±1时，△=4k2-4×（-5）×（1-k2）＜0，解得
综上可知：直线y=kx-1与双曲线C没有公共点时实数k的取值范围是
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