- 直线与圆锥曲线的综合问题
- 共2643题
若椭圆
正确答案
解析
解：依题意可知抛物线的焦点为M（b，0），椭圆的焦点为F2（ 
∵
∴
①当
∴
∴e=
②当
∴
∴e=
则此椭圆的离心率为 
故答案为：
以椭圆
正确答案
x+4y-5=0
解析
解：设点M（1，1）为中点的弦所在直线与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．
则
相减得
∵
∴
故所求的直线方程为
故答案为x+4y-5=0．
若AB是过二次曲线中心的任一条弦，M是二次曲线上异于A、B的任一点，且AM、BM均与坐标轴不平行，则对于椭圆
正确答案
解析
解：设A，B所在直线为y=kx与双曲线方程b2x2-a2y2=a2b2
联立得：（b2-a2k2）x2=a2b2
设A（x1，y1）B（x2，y2）M（m，n）
根据韦达定理
x1x2=
y1y2=
把M的坐标代入双曲线方程得n2=
kAM•kBM=（y1-n）（y2-n）/（x1-m）（x2-m）
=
因为AB是过二次曲线中心的任一条弦，所以AB过原点
y1+y2=0 x1+x2=0
kAM•kBM=
把x1x2，y1y2，n2代入并整理就能得到kAM•kBM=
直线
正确答案
解析
解：依题意可知直线l恒过（
要使直线与双曲线只有一个公共点，则该直线与渐近线平行，
∴k=±1，此时直线与双曲线有一个公共点．
故选C．
已知抛物线的顶点在坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为2，且
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）过点M（8，0）作直线l交抛物线于B，C两点，求证：OB⊥OC．
正确答案
（Ⅰ）解：由题设抛物线的方程为：y2=2px（p＞0），
则点F的坐标为
∵
∴4-p+4p=16，∴p=4，∴y2=8x．（6分）
（Ⅱ）证明：设B、C两点坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），
法一：因为直线当l的斜率不为0，设直线当l的方程为x=ky+8．
方程组
∵
∴
∴OB⊥OC．（12分）
法二：①当l的斜率不存在时，l的方程为x=8，此时B（8，8），C（8，-8），
即
②当l的斜率存在时，设l的方程为y=k（x-8）．
方程组
∴x1x2=64，y1y2=-64，（10分）
∵
∴
∴OB⊥OC．
由①②得OB⊥OC．（12分）
解析
（Ⅰ）解：由题设抛物线的方程为：y2=2px（p＞0），
则点F的坐标为
∵
∴4-p+4p=16，∴p=4，∴y2=8x．（6分）
（Ⅱ）证明：设B、C两点坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），
法一：因为直线当l的斜率不为0，设直线当l的方程为x=ky+8．
方程组
∵
∴
∴OB⊥OC．（12分）
法二：①当l的斜率不存在时，l的方程为x=8，此时B（8，8），C（8，-8），
即
②当l的斜率存在时，设l的方程为y=k（x-8）．
方程组
∴x1x2=64，y1y2=-64，（10分）
∵
∴
∴OB⊥OC．
由①②得OB⊥OC．（12分）
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