- 直线与圆锥曲线的综合问题
- 共2643题
直线y=x+2与椭圆
正确答案
（1，3）∪（3，+∞）
解析
解：将直线y=x+2代入椭圆
由
故答案为：（1，3）∪（3，+∞）．
已知椭圆C：
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设A、B是直线l：x=2
正确答案
解：（1）由题意得：
解得：
∴椭圆的标准方程为：
（2）由（1）知，
设直线l：x=2
则
由
即
当
∴|AB|的最小值是
解析
解：（1）由题意得：
解得：
∴椭圆的标准方程为：
（2）由（1）知，
设直线l：x=2
则
由
即
当
∴|AB|的最小值是
（1）试证明A，B两点的纵坐标之积为定值；
（2）若点N是定直线l：x=-m上的任一点，试探索三条直线AN，MN，BN的斜率之间的关系，并给出证明．
正确答案
解析
设直线AB的方程为：x=ty+m，与y2=2px联立
消去x得y2-2pty-2pm=0，
由韦达定理得y1•y2=-2pm，
（2）解：三条直线AN，MN，BN的斜率成等差数列，下证之：
设点N（-m，n），则直线AN的斜率为
直线BN的斜率为
∴
=
=
又∵直线MN的斜率为
∴kAN+kBN=2kMN
即直线AN，MN，BN的斜率成等差数列．
（1）求曲线AF与AB，BF所围成区域的面积；
（2）求该公园的最大面积．
正确答案
设曲线AF所在抛物线方程为y=ax2（a＞0），
∵抛物线过F（2，4），∴4=a×22，得a=1．
∴AF所在抛物线方程为y=x2．
则曲线AF与AB，BF所围成区域的面积
（2）又E（0，4），C（2，6），则EC所在直线方程为y=x+4．
设P（x，x2）（0＜x＜2），则PO=x，OE=4-x2，PR=4+x-x2，
∴公园的面积S=
∴S′=-3x2+x+4，
令S′=0，得x=
当x变化时，S′和S的变化情况如下表：
当x=时，S取得最大值．
故该公园的最大面积为．
解析
设曲线AF所在抛物线方程为y=ax2（a＞0），
∵抛物线过F（2，4），∴4=a×22，得a=1．
∴AF所在抛物线方程为y=x2．
则曲线AF与AB，BF所围成区域的面积
（2）又E（0，4），C（2，6），则EC所在直线方程为y=x+4．
设P（x，x2）（0＜x＜2），则PO=x，OE=4-x2，PR=4+x-x2，
∴公园的面积S=
∴S′=-3x2+x+4，
令S′=0，得x=
当x变化时，S′和S的变化情况如下表：
当x=时，S取得最大值．
故该公园的最大面积为．
MN为双曲线C：
①存在a，b＞0及动弦MN，使得P，E，Q，F四点共圆；
②对任意a，b＞0，都存在动弦MN，使得P，E，Q，F四点共圆；
③存在a，b＞0及动弦MN，使得P，E，Q，F四点共椭圆，且PQ为椭圆的长轴；
④存在a，b＞0及动弦MN，使得P，E，Q，F四点共椭圆，且PQ为椭圆的短轴．
其中正确的序号是______．
正确答案
①③④
解析
解：∵MN为双曲线C：
∴设M（x0，y0），N（x0，-y0），F（x，y），
∵P，Q为双曲线C的顶点，
∵P（-a，0），Q（a，0），
∴直线lMQ：y=
上述两式相乘得，
将
∴点E，F的轨迹方程为
当a=b时，上式表示圆的方程，
当a≠b时，上式表示椭圆，且PQ为长轴还是短轴取决于a，b的大小，
综上所述，可知选项①③④正确．
故答案为：①③④．
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