直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

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直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：简答题

简答题

已知中心在原点的椭圆C的右焦点为（，0），离心率e=

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设过椭圆左顶点A的直线l交椭圆于另一点B，且AB中点横坐标为，求l的方程．

正确答案

解：（1）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），

由题意可得c=，e==，

解得a=2，b==1，

即有椭圆方程为+y2=1；

（2）A（-2，0），设直线l：y=k（x+2），

代入椭圆方程可得，（1+4k2）x2+16k2x+16k2-4=0，

则-2+xB=-，

由AB中点横坐标为，可得-=-，

解得k=±1，

检验判别式（16k2）2-4（1+4k2）（16k2-4）=16＞0，成立．

则有直线l的方程为y=x+2或y=-x-2．

解析

解：（1）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），

由题意可得c=，e==，

解得a=2，b==1，

即有椭圆方程为+y2=1；

（2）A（-2，0），设直线l：y=k（x+2），

代入椭圆方程可得，（1+4k2）x2+16k2x+16k2-4=0，

则-2+xB=-，

由AB中点横坐标为，可得-=-，

解得k=±1，

检验判别式（16k2）2-4（1+4k2）（16k2-4）=16＞0，成立．

则有直线l的方程为y=x+2或y=-x-2．

题型：填空题

填空题

斜率为2的直线l与双曲线-=1交于A，B两点，且|AB|=4，则直线l的方程为______．

正确答案

y=2x

解析

解：设直线的方程为y=2x+b，代入-=1，可得10x2+12bx+3b2+6=0

设A，B的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2=-，x1x2=

∵|AB|=4，

∴=4

∴5（-4•）=16

∴b=

∴直线l的方程为y=2x

故答案为：y=2x

题型：简答题

简答题

已知焦点在x轴上，中心在坐标原点的椭圆C的离心率为，且过点

（1）求椭圆C的标准方程

（2）直线l：y=kx+m分别切椭圆C与圆M：x2+y2=15于A、B两点，求|AB|的值．

正确答案

解：（1）设椭圆的方程为（a＞b＞0），则

∵椭圆C的离心率为，∴=，c=a，

∴b2=a2-c2=a2，

∵椭圆过点，∴，解得a2=25，∴b2=9，

故椭圆C的方程为（4分）

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）分别为直线l与椭圆和圆的切点，

直线AB的方程为y=kx+m代入椭圆方程，消去y得：（25k2+9）x2+50kmx+25（m2-9）=0，

由于直线与椭圆相切，故△=（50kmx）2-4（25k2+9）×25（m2-9）=0，从而可得：m2=9+25k2，①，x1=-，②

直线AB的方程为y=kx+m代入圆的方程，消去y得：（k2+1）x2+2kmx+m2-15=0，

由于直线与圆相切，得m2=15（1+k2），③，x2=-，④

由①③得：k2=，m2=24，由②④得：x2-x1=，（9分）

∴|AB|2=（x2-x1）2+（y2-y1）2=（1+k2）（x2-x1）2=（1+k2）×=4

∴|AB|=2，（12分）

解析

解：（1）设椭圆的方程为（a＞b＞0），则

∵椭圆C的离心率为，∴=，c=a，

∴b2=a2-c2=a2，

∵椭圆过点，∴，解得a2=25，∴b2=9，

故椭圆C的方程为（4分）

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）分别为直线l与椭圆和圆的切点，

直线AB的方程为y=kx+m代入椭圆方程，消去y得：（25k2+9）x2+50kmx+25（m2-9）=0，

由于直线与椭圆相切，故△=（50kmx）2-4（25k2+9）×25（m2-9）=0，从而可得：m2=9+25k2，①，x1=-，②

直线AB的方程为y=kx+m代入圆的方程，消去y得：（k2+1）x2+2kmx+m2-15=0，

由于直线与圆相切，得m2=15（1+k2），③，x2=-，④

由①③得：k2=，m2=24，由②④得：x2-x1=，（9分）

∴|AB|2=（x2-x1）2+（y2-y1）2=（1+k2）（x2-x1）2=（1+k2）×=4

∴|AB|=2，（12分）

题型：单选题

单选题

过抛物线的准线上任意一点作抛物线的两条切线，若切点分别为M、N，则直线MN过定点（　　）

A（-1，0）

B（0，-1）

C（1，0）

D（0，1）

正确答案

解析

解：设M（），N（x2，），Q（x0，-1），

∵y=x2，

∴y′=x，

∴切线MQ的斜率为：kMQ=，

∴MQ的方程为y-=（x-x1），

∴-2x1x+4y=0．（8分）

∵MQ过Q（x0，-1），

∴-2x1x0-4=0，

同理-2x2x0-4=0，

∴x1，x2为方程x2-2xx0-4=0的两个根，

∴x1x2=-4．（10分）

又kMN==，

∴MN的方程为y-=（x-x1），

∴y=x+1，

所以直线MN过点（0，1）．（12分）

题型：简答题

简答题

在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别F1、F2焦距为2，且与双曲线-y2=1共顶点．P为椭圆C上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若点P的坐标为（0，b），求过P、Q、F2三点的圆的方程；

（3）若=λ，且λ∈[，2]，求的最大值．

正确答案

解：（1）由题意得c=1，a2=2…（2分）

故椭圆的方程为．…（3分）

（2）因为P（0，1），F1（-1，0），所以PF1的方程为x-y+1=0

由，解得点Q的坐标为． …（5分）

设过P，Q，F2三点的圆为x2+y2+Dx+Ey+F=0…（6分）

则解得

所以圆的方程为…（8分）

（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，

因为，所以，即

所以，解得…（10分）

所以

=…（12分）

因为，所以，当且仅当，

即λ=1时，取等号．最大值为． …（14分）

解析

解：（1）由题意得c=1，a2=2…（2分）

故椭圆的方程为．…（3分）

（2）因为P（0，1），F1（-1，0），所以PF1的方程为x-y+1=0

由，解得点Q的坐标为． …（5分）

设过P，Q，F2三点的圆为x2+y2+Dx+Ey+F=0…（6分）

则解得

所以圆的方程为…（8分）

（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，

因为，所以，即

所以，解得…（10分）

所以

=…（12分）

因为，所以，当且仅当，

即λ=1时，取等号．最大值为． …（14分）

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已完结

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