直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

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直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：单选题

单选题

直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A、B两点，若弦AB的中点M（2，m），则k=（　　）

A2或-1

B-1

正确答案

解析

解：直线y=kx-2代入抛物线y2=8x，整理可得k2x2-（4k+8）x+4=0，

△=（4k+8）2-16k2=64k+64＞0，

即k＞-1，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则

∵AB的中点的横坐标为2，

∴x1+x2==4得k=-1（舍去）或k=2，

故选：C

题型：简答题

简答题

（B题）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，长轴长为2，离心率为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设点A（-1，1），过原点O的直线交椭圆于点B，C，求△ABC面积的最大值．

正确答案

解：（1）设椭圆C的方程为（a＞b＞0）．

由题意，得，解得，所以b2=2．

所求的椭圆方程为．

（2）当BC垂直于x轴时，因点A（-1，1），|BC|=，，

当BC不垂直于x轴时，设该直线方程为y=kx，代入，得，

|BC|=|x|=•，又点A到BC的距离d=，

所以•d=•=•=•，

设6k+1=t，得=•，此时k=，

综上知当k=，时△ABC面积有最大值为．

解析

解：（1）设椭圆C的方程为（a＞b＞0）．

由题意，得，解得，所以b2=2．

所求的椭圆方程为．

（2）当BC垂直于x轴时，因点A（-1，1），|BC|=，，

当BC不垂直于x轴时，设该直线方程为y=kx，代入，得，

|BC|=|x|=•，又点A到BC的距离d=，

所以•d=•=•=•，

设6k+1=t，得=•，此时k=，

综上知当k=，时△ABC面积有最大值为．

题型：简答题

简答题

设椭圆的中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，一个顶点为A（0，2），右焦点F到点的距离为2．

（I）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设经过点（0，-3）的直线l与椭圆相交于不同两点M，N满足，试求直线l的方程．

正确答案

解：（Ⅰ）依题意，设椭圆方程为，

则其右焦点坐标为，

由|FB|=2，得，

即，故．

又∵b=2，∴a2==12，

∴所求椭圆方程为．

（Ⅱ）由题意可设直线l的方程为y=kx-3（k≠0），

由，知点A在线段MN的垂直平分线上，

由得x2+3（kx-3）2=12

即（1+3k2）x2-18kx+15=0①

△=（-18k）2-4（1+3k2）×15=144k2-60＞0

即时方程①有两个不相等的实数根

设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点P（x0，y0）

则x1，x2是方程①的两个不等的实根，故有

从而有，

于是，可得线段MN的中点P的坐标为

又由于k≠0，因此直线AP的斜率为

由AP⊥MN，得

即5+6k2=9，解得，∴，

∴所求直线l的方程为：．

解析

解：（Ⅰ）依题意，设椭圆方程为，

则其右焦点坐标为，

由|FB|=2，得，

即，故．

又∵b=2，∴a2==12，

∴所求椭圆方程为．

（Ⅱ）由题意可设直线l的方程为y=kx-3（k≠0），

由，知点A在线段MN的垂直平分线上，

由得x2+3（kx-3）2=12

即（1+3k2）x2-18kx+15=0①

△=（-18k）2-4（1+3k2）×15=144k2-60＞0

即时方程①有两个不相等的实数根

设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点P（x0，y0）

则x1，x2是方程①的两个不等的实根，故有

从而有，

于是，可得线段MN的中点P的坐标为

又由于k≠0，因此直线AP的斜率为

由AP⊥MN，得

即5+6k2=9，解得，∴，

∴所求直线l的方程为：．

题型：简答题

简答题

已知圆M：（x-）2+y2=，若椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右顶点为圆M的圆心，离心率为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知直线l：y=kx，若直线l与椭圆C分别交于A，B两点，与圆M分别交于G，H两点（其中点G在线段AB上），且|AG|=|BH|，求k的值．

正确答案

解：（I）设椭圆的焦距为2c，由圆心M得到．

∵，∴c=1．

∴b2=a2-c2=1．

所以椭圆C：．

（II）设A（x1，y1），B（x2，y2）．

由直线l与椭圆C交于两点A，B，则

消去y得到（1+2k2）x2-2=0，则x1+x2=0，．

∴|AB|==．

点M到直线l的距离．

则|GH|=．

显然，若点H也在线段AB上，则由对称性可知，直线y=kx就是y轴，矛盾．

∵|AG|=|BH|，∴|AB|=|GH|．

∴，

解得k2=1，即k=±1．

解析

解：（I）设椭圆的焦距为2c，由圆心M得到．

∵，∴c=1．

∴b2=a2-c2=1．

所以椭圆C：．

（II）设A（x1，y1），B（x2，y2）．

由直线l与椭圆C交于两点A，B，则

消去y得到（1+2k2）x2-2=0，则x1+x2=0，．

∴|AB|==．

点M到直线l的距离．

则|GH|=．

显然，若点H也在线段AB上，则由对称性可知，直线y=kx就是y轴，矛盾．

∵|AG|=|BH|，∴|AB|=|GH|．

∴，

解得k2=1，即k=±1．

题型：简答题

简答题

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为B（0，-1），且其右焦点到直线的距离为3．

（1）求椭圆方程；

（2）设直线l过定点，与椭圆交于两个不同的点M、N，且满足|BM|=|BN|．求直线l的方程．

正确答案

解（1）设椭圆方程为，则b=1．

设右焦点F（c，0）（c＞0），则由条件得，得．

则a2=b2+c2=3，

∴椭圆方程为．

（2）若直线l斜率不存在时，直线l即为y轴，此时M，N为椭圆的上下顶点，|BN|=0，|BM|=2，不满足条件；

故可设直线l：，与椭圆联立，消去y得：．

由，得．

设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点P（x0，y0），

由韦达定理得，而．

则

由|BN|=|BM|，则有BP⊥MN，，

可求得，检验，所以k=，

所以直线l的方程为或．

解析

解（1）设椭圆方程为，则b=1．

设右焦点F（c，0）（c＞0），则由条件得，得．

则a2=b2+c2=3，

∴椭圆方程为．

（2）若直线l斜率不存在时，直线l即为y轴，此时M，N为椭圆的上下顶点，|BN|=0，|BM|=2，不满足条件；

故可设直线l：，与椭圆联立，消去y得：．

由，得．

设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点P（x0，y0），

由韦达定理得，而．

则

由|BN|=|BM|，则有BP⊥MN，，

可求得，检验，所以k=，

所以直线l的方程为或．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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